Содержится ли в основах языка математики вычислимость?

[_hum_]

Язык - это набор символических конструкций, которым можно приписать определенное семантическое значение, соответствущее в общем случае изменению состояния читателя. Язык математики по минимуму, насколько я понимаю, - это язык логики + язык теории множеств. И тот, и другой, на первый взгляд, позволяют фискировать (задавать) только либо некоторое множество (в конструкциях определений), либо какое-то высказывание (в конструкциях теорем). Где же тогда кроются вычисления? То есть, например, читатель может установить истинность высказывания $P = и путем логического вывода прийти к $P \rightarrow . Но где в языке кроется то, что побуждает его прийти к конкретному значению, импликации $P \rightarrow x = 3$" из которой "достается" $3$?
Или это лежит за пределеами языка так же, как понятие логического вывода?

[epros]

_hum_ в сообщении #480454 писал(а):

Язык - это набор символических конструкций, которым можно приписать определенное семантическое значение, соответствущее в общем случае изменению состояния читателя.

Интересно, откуда Вы взяли такое определение? По моим понятиям язык определяется алфавитом и грамматикой. Последняя определяет какие из строк символов в заданном алфавите являются синтаксически правильными высказываниями. Возможно, конечно, и какое-то более широкое понимание "языка", но тогда нужно указать, в каком контексте мы используем это слово.

_hum_ в сообщении #480454 писал(а):

Язык математики по минимуму, насколько я понимаю, - это язык логики + язык теории множеств.

Без теории множеств в принципе можно и обойтись. Хотя Вы правы в том, что как правило оная привлекается. В любом случае, нужно иметь в виду, что в формальном плане добавление теории множеств приводит к добавлению:
1) в алфавит - предикатного символа $\in$,
2) в аксиоматику - соответствующих аксиом (например, см. аксиоматику ZFC).

_hum_ в сообщении #480454 писал(а):

Где же тогда кроются вычисления? То есть, например, читатель может установить истинность высказывания $P = и путем логического вывода прийти к $P \rightarrow . Но где в языке кроется то, что побуждает его прийти к конкретному значению, импликации $P \rightarrow x = 3$" из которой "достается" $3$?

Вообще-то, к формуле $x = 5 - 2$ в арифметике Пеано тоже нельзя формально прийти, потому что в её языке нет символа разности. Но это чисто формальный момент, поскольку при необходимости данный символ можно доопределить. То же касается и чисел в записи $2, 3, 4, \dots$: указанные константы при необходимости легко доопределяются. Всё это называется "консервативным расширением теории". Далее все правила сложения, вычитания, умножения, деления и т.д. для чисел в десятичной записи, которые проходят в школе, оказываются выводимы (доказуемы из аксиом арифметики).

[Circiter]

2_hum_

Цитата:

что побуждает его прийти к конкретному значению

Экономия бумаги. :) В этом смысле, да, мотивация применения правил вывода лежит вне теории. Можно представлять ситуацию себе и так: получив для рассмотрения некую формальную систему мы с жадностью набрасываемся на неё и применяем все правила вывода бесконечное число раз во всевозможных комбинациях. Это тоже матаправило, но универсальное. В самом языке команды "редуцируй" может и не быть.

[hurtsy]

Circiter в сообщении #480511 писал(а):

получив для рассмотрения некую формальную систему мы с жадностью набрасываемся на неё и применяем все правила вывода бесконечное число раз во всевозможных комбинациях

Сколько раз Вам удался этот "фокус" с бесконечностью, тем более учитывая счетность "всевозможного"?

Circiter в сообщении #480511 писал(а):

В самом языке команды "редуцируй" может и не быть

А если без "жадности", как связаны "редуцирование" и вычислимость? С уважением,

[Circiter]

2hurtsy

Цитата:

Сколько раз Вам удался этот "фокус" с бесконечностью

Как вы понимаете я его до сих пор не закончил. :) А если серьезно, зачем же так буквально понимать? Я имел ввиду, что нужный вычисленный ответ обязательно находится среди всего, что только может сгенерировать формальная система. Можно даже какой-нибуль термин подобрать со структурой "<прилагательное> замыкание".

Цитата:

А если без "жадности", как связаны "редуцирование" и вычислимость?

Cf. $\lambda$-исчисление. :) А вообще, я думал, что ТС спрашивает о мотивах, побуждающих применяя доступные правила вывода прийти к какому-то выражению, считающемуся удовлетворительным, компактным. т.е. не занимающим много места, ответом. Мы же можем ответ к арифметической задаче написать и как $2+5$, но обычно пишем $7$. Применение правил вывода "наоборот" до стабилизации процесса я и назвал редукцией.

Пусть $A$ исходное выражение, $F$ - элементарный шаг применения/отмены одного-двух правил. Сначала делаем $F(A)$, потом ещё раз $F(F(A))$, ну и так далее, до бесконечности. При определенных условиях процесс стабилизируется $F^n(A)\to S$, т.е. получается что-то вроде $F(S)=S$. Вот нетривиальную, минимальную по-включению неподвижную точку $F$ мы и можем называть вычисленным ответом задачи (в соседнем разделе, в одной из тем сейчас как-раз предпринимаются попытки построения основанного на теории множеств языка программирования, который может использовать означенный формализм для решения задач, записанных в декларативной форме).

[_hum_]

epros в сообщении #480480 писал(а):

Интересно, откуда Вы взяли такое определение? По моим понятиям язык определяется алфавитом и грамматикой.

Это формальный язык так определяется. Само же понятие языка включает синтаксис, семантику (и, до кучи, прагматику).

epros в сообщении #480480 писал(а):

Без теории множеств в принципе можно и обойтись.

Ого. А где можно почитать про основания математики без теории множеств?
И еще...Мне интуитивно кажется, что первичным понятием должно выбираться все-таки не множество, а отношения между объектами. Не встречали ли Вы где-нибудь подхода к построению математики на этой основе?

2Circiter
Как вариант, интересный.

Получается, язык математики не обладает "побудительной" семантикой. Он дает средства только "для констатации фактов" (сообщает читателю лишь некоторую информацию).
Но тогда, получается, использовать его в качестве языка задания алгоритмов (языка программирования) нельзя. Странно...

[epros]

_hum_ в сообщении #481302 писал(а):

Это формальный язык так определяется. Само же понятие языка включает синтаксис, семантику (и, до кучи, прагматику).

Это очень странное определение. Дело не в формальности. Неформальный язык - это тоже алфавит плюс грамматика (либо фонетика плюс грамматика - для устной речи). Это позволяет формулировать высказывания, которые имеют право быть и истинными, и ложными, и непонятно какими - совершенно не важно, ибо это просто высказывания: "Я никогда не видел лошади, курящей апельсин", - синтаксически корректно - и ладно. А вот семантика уже добавляет некое отношение субъекта к высказыванию - как к "истинному", "ложному", "возможному, но не необходимому", "достоверному" и т.п. (варианты отношения могут быть разными). Включать семантику в сам язык - это очень странно. Получается, что в самом языке есть средства для определения истинности высказывания: "Маша мыла раму", - это правда или нет? Откуда мы можем знать, если нам пока непонятно - о какой Маше идёт речь, когда она должна была мыть раму и где взять информацию о том, что она на самом деле делала в то время?

_hum_ в сообщении #481302 писал(а):

Ого. А где можно почитать про основания математики без теории множеств?

Вся теория доказательств (proof theory) практически обходится без употребления понятия множества (в отличие от теории моделей, например). Посмотрите также reverse mathematics.

_hum_ в сообщении #481302 писал(а):

И еще...Мне интуитивно кажется, что первичным понятием должно выбираться все-таки не множество, а отношения между объектами. Не встречали ли Вы где-нибудь подхода к построению математики на этой основе?

Зачем же "интуитивно"? Это общеизвестный факт. В любом формальном языке (в исчислении предикатов - уж точно) отношения между объектами записываются формулами языка. Соответственно, любая формула языка определяет некое отношение. Формула с одной свободной переменной определяет особый тип отношения - свойство. Вот свойствами-то и определяются "множества". Считается, что в т.н. "наивную теорию множеств" Кантора даже была (неявно) заложена аксиома: "Любое свойство определяет множество". Б.Рассел показал противоречивость такой аксиоматики, что в дальнейшем вынудило математиков относиться к аксиоматизации теории множеств более аккуратно. Вот Вам пример формулы арифметики Пеано, определяющей свойство "$x$ является чётным числом": $\exists y \, (y \times 2 = x)$. Соответственно, это свойство определяет и множество чётных чисел: $\{x \in \mathbb{N} \, | \, \exists y \, (y \times 2 = x)\}$.

P.S. Лучше я уточню эту формулу, поскольку в языке арифметики Пеано всё-таки нет константы $2$. Итак, свойство чётности:
$\text{Parity}(x) \leftrightarrow \exists y \, (y \times S(S(0)) = x)$
$S$ обозначает функцию инкремента, а константа $0$ в языке есть.

[hurtsy]

epros в сообщении #481361 писал(а):

Дело не в формальности. Неформальный язык - это тоже алфавит плюс грамматика (либо фонетика плюс грамматика - для устной речи).

У Хомского более установившаяся классификация языков. Мне кажется, между языком и математикой такое же отношение, как и между речью и сознанием.Языков много, а математика одна, несмотря на существующие формализации и специализации. С уважением,

[epros]

hurtsy в сообщении #481418 писал(а):

У Хомского более установившаяся классификация языков. Мне кажется, между языком и математикой такое же отношение, как и между речью и сознанием.Языков много, а математика одна, несмотря на существующие формализации и специализации.

Не знаю, что Вы имеете в виду под "математика одна" (по-моему, она довольно разнообразна) и какую классификацию языков следует считать наиболее установившейся...

Но по-моему включать в понятие языка представления об истинности высказываемого или даже представления о каких-то правилах вывода - это концептуально неверно. Язык позволяет высказывать что угодно, в том числе - и заведомо неверные вещи, и в этом его сила. Равно как и с правилами вывода: язык позволяет нам высказывать нечто, похожее на вывод - "Если в огороде бузина, то в Киеве - дядька", - что на самом деле рассматривать как логически корректный вывод очень странно (ибо разумный субъект не примет такое за аксиому или за правило вывода).

Касательно отношения как между речью и сознанием, может быть Вы и правы. В сознании, очевидно, имеет место быть не только язык (как грамматическая конструкция), но и какая-то аксиоматика с правилами вывода.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #481302 писал(а):

Но тогда, получается, использовать его в качестве языка задания алгоритмов (языка программирования) нельзя. Странно...

Так он и не является языком программирования.

[hurtsy]

epros в сообщении #481450 писал(а):

Не знаю, что Вы имеете в виду под "математика одна" (по-моему, она довольно разнообразна)

Виноват. (слово сказанное ... может иметь только какое-то отношение к тому, что хотелось сказать). Математика единая и неделимая, несмотря на разнообразие её языковых, графических, алгоритмических и пр. представлений.
Язык математики - это интерфейс и может обходиться без исчислимости. А математика без исчислимости что это? С уважением,

[arseniiv]

hurtsy в сообщении #482467 писал(а):

Язык математики - это интерфейс и может обходиться без исчислимости. А математика без исчислимости что это?

Поясните свои слова, что ли. Философия какая-то получается у вас.

[hurtsy]

arseniiv в сообщении #482501 писал(а):

Поясните свои слова, что ли. Философия какая-то получается у вас.

Все слова моего поста употребляются в теме и сообщениях, разве что интерфейс я "наслушался" в программировании, как Вы верно заметили в своем "критическом разборе моих постов". А исчислимость я применил из-за редактора, требует вычислимость занести в словарь. С уважением,

[arseniiv]

(Оффтоп)

hurtsy в сообщении #482533 писал(а):

А исчислимость я применил из-за редактора, требует вычислимость занести в словарь.

Мда…

[epros]

hurtsy в сообщении #482467 писал(а):

Математика единая и неделимая

Что бы это значило?

hurtsy в сообщении #482467 писал(а):

Язык математики - это интерфейс и может обходиться без исчислимости

Что бы это значило?