Критерий Коши расходимости ряда

[Whitaker]

Здравствуйте!
Пользуясь критерием Коши доказать расходимость ряда:
$\dfrac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot 3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n \cdot (n+1)}}+...=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n \cdot (n+1)}}$.
Критерий Коши расходимости ряда. Для расходимости ряда $\sum a_n$ необходимо и достаточно, чтобы существовало $\varepsilon$ c условием, что для любого $n_0\geq 1$ найдутся натуральные $n>n_0$ и $p$, для которых справедливо неравенство $\Big|\sum\limits_{m=n+1}^{n+p}a_m \Big|\geq \varepsilon$
Возьмём $p=2n-1$ и рассмотрим разность $|s_{n+p}-s_n|$.

$|s_{n+p}-s_n|=|s_{3n-1}-s_n|=\sum\limits_{k=n+1}^{3n-1}\dfrac{1}{\sqrt{k \cdot (k+1)}}\geq\sum\limits_{k=n+1}^{3n-1}\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+...+\dfrac{1}{3n}\geq \dfrac{1}{3n}\cdot(2n-1)\geq \dfrac{1}{3}.$
Таким образом, условия критерия Коши расходимости будут выполнены, если положить $\varepsilon=\dfrac{1}{3}$ и при любом $n_0\geq 1$ в качестве $p$ взять число $2n-1$.

Скажите пожалуйста правильно ли я сделал?

[SpBTimes]

Правильно

[Whitaker]

SpBTimes в сообщении #482355 писал(а):

Правильно

Спасибо