Криволинейные системы координат

[Mitrandir]

Как записать вектор в сферической системе координат ?
(примечание: прочитал кучу источников по криволинейным системам координат, но нет нигде конкретных примеров.)
Вопрос возник в связи с задачей о скалярном произведении двух единичных векторов заданных углами.
(записать вектор в виде

[myhand]

Да именно так и записать. $a_i\ne a^i$ в общем случае.

[Mitrandir]

Приведите пример, если не сложно.

[profrotter]

$\overrightarrow{a}=a_r \overrightarrow{r^0}+a_{\theta} \overrightarrow{\theta^0}+a_{\alpha} \overrightarrow{\alpha^0}$
$\overrightarrow{r^0},\overrightarrow{\theta^0},\overrightarrow{\alpha^0}$ - орты сферической системы координат;
$a_r,a_{\theta},a_{\alpha}$ - координаты вектора.
Кстати, независимо от системы координат скалярное произведение двух единичных векторов равно косинусу угла между ними.

[Mitrandir]

Я именно косинус угла между двумя единичными векторами найти хочу.
Но что такое координаты вектора ? углы и длина ? прям так и писать?

[Oleg Zubelevich]

Mitrandir в сообщении #482289 писал(а):

Как записать вектор в сферической системе координат ?

Вектор это элемент линейного пространства, а в линейном пространстве сферических систем координат не бывает, там только базисы бывают. Вопрос бессмысленный.

[profrotter]

Mitrandir в сообщении #482308 писал(а):

Но что такое координаты вектора ? углы и длина ? прям так и писать?

Пример в полярной системе координат:

Имею предположение, что вашу задачу (которую вы так и не сформулировали) удобнее будет решать используя декартову систему координат. Посмотрите в справочнике по математике Бронштейн и Семендяев про направляющие косинусы, там же про векторы. Думаю это поможет записать ваши векторы в декартовой системе координат.

[Mitrandir]

а если задан радиус вектор, то как записать его в виде

надо в начале координат построить 3 орта, и проецировать на них?
P.S
Задача простая и проблем с ней нет, я не понимаю криволинейных систем координат ...

[profrotter]

Радиус-вектор в сферических координатах имеет только одну составлющую $\overrightarrow{r}=r \overrightarrow{r^0}$

[Mitrandir]

Действительно так, но не поясните мне, что такое ' два направления в сферической СК определяются двумя парами углов ' разве не два радиус вектора так определяются?

[profrotter]

Предполагаю, что речь идёт о задании направлений азимутальным и меридиональным углами. Конечно, в каждом из этих направлений вполне можно построить радиус-векторы, но они всё равно будут иметь только одну r-ю составляющую.

[Mitrandir]

да, все именно так.
Но,скалярно перемножая два таких (единичных) вектора - мы придем к скалярному произведению двух ортов $r_0$ и их уже проецировать на оси какие? В итоге придем к тому что надо переводить в декартову систему координат?

[epros]

Mitrandir в сообщении #482289 писал(а):

Как записать вектор в сферической системе координат ?

Через координаты вектора в касательном линейном пространстве: $(a^r, a^{\theta}, a^{\varphi})$.

Mitrandir в сообщении #482308 писал(а):

Но что такое координаты вектора ? углы и длина ? прям так и писать?

Прям так и писать. Координаты - те же самые, что и в координатной сетке, т.е. углы там, где углы, и метры там, где метры. Вообще, в пределе бесконечно малых контравариантный вектор соответствует направленному отрезку. Т.е. берёте две близкие точки: $(r, \theta, \varphi)$ и $(r + \Delta r, \theta + \Delta \theta, \varphi + \Delta \varphi)$, тогда они, грубо говоря, определяют вектор с координатами $(\Delta r, \Delta \theta, \Delta \varphi)$.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Mitrandir в сообщении #482289 писал(а):

прочитал кучу источников по криволинейным системам координат, но нет нигде конкретных примеров

Не верю! © Станиславский

[Mitrandir]

Всем спасибо. Разобрался таки с криволинейными системами координат.