Задача оптимального управления - Понтрягин

[Solunac]

Уравнения состояния: $\dot{x}(t) = x(t)(\alpha - x(t)) - x(t)u(t)$
Управление $u(t)\in [0,1]$
Граничные условия: $x(0) = x_0, ~x(T) = x_T$
Максимизируемый функционал: $\varphi (T) = \int_0^1(x(t)u(t) - Ku^2(t))dt$
$\alpha, K > 0$
$0 < x_0, x_T < \alpha$

Найти функцию и управление так, что максимизируется $\varphi(T)$, то есть $\max\varphi (T)$.

-- Вс сен 11, 2011 07:59:55 --

Функция Гамильтона $H = F + pf$
$H = xu - Ku^2 + p(x(\alpha - x) - xu)$

$\dot{p} = -\frac{\delta H}{\delta x}, ~\frac{\delta H}{\delta U} = 0$, то есть
$\dot{p} = 2px + pu - \alpha p - u$ сопряжённое уравнение
$x - 2Ku - px = 0$ уравнение управления по $u$
Тоже
$\varphi (x^*(\alpha - x^*) - x^*u^*) = \max_{\omega\in [0,1]} p(x(\alpha - x) - x\omega)$
где $(x^*, u^*)$ оптимальний пар.

Но что делать дальше?

[Solunac]

Простите, ошибка!
Максимизируемый функционал есть: $\varphi (T) = \int_0^T(x(t)u(t) - Ku^2(t))dt$

-- Вс сен 11, 2011 17:47:54 --

$u^* = \frac{x^*(1-p)}{2K}$
$p = \frac{x^*-2Ku^*}{x^*}$
$p(x^*(\alpha - x^*)-x^*u^*) = \max_{\omega\in [0,1]}p(x^*(\alpha-x^*)-x^*\omega)$
Потому что это линейное по омега, макс находится в одной из конечных точек, т.е.
$\omega = 0$ или $\omega = 1$. Правда?

[Nimza]

Вы как-то криво принцип максимума записали.
$\max\limits_{u\in[0,1]} H(x^*,p^*,u) = H(x^*,p^*,u^*)$.
Распишите это условие. Оптимальное управление будет либо в вершине параболы, либо $u = 1$, либо $u=0$, когда вершина ниже чем 0.