Здравствуйте. Интуитивно, квантово-механическое уравнение Шредингера может быть выведено, ну или по крайней мере запомнено, приравниванием значений энергии частицы, полученных двумя различными путями -- через гамильтониан, предсталенный суммой извне заданной потенциальной и зависящей от импульса кинетической энергий, и через симметрию по времени, т.е., я имел ввиду, дифференцированием волновой функции по времени. Просто приравниваем эти две энергии и, опа, получили шредингеровское уравнение.
Да, стационарное УШ это просто уравнение на собственные значения энергии. Но вот то, что собственные значения энергии имеют какое-то отношение к производной по времени -- постулат. В принципе этот постулат можно заменить на опять же постулат, что состояния с определенной энергией просто осциллируют во времени по комплексной экспоненте. Этот второй вариант постулирования по существу был уже у деБройля. А для фотонов -- у Эйнштейна и даже у Планка. Сам Шредингер говорил, что он лишь облек идеи деБройля в математическую форму. Интересна история возникновения УШ, можно почитать у Капицы. УШ возникло в результате того, что Шредингеру поручили сделать доклад о работах деБройля.
превращением в операторы и наложения условия на квантовое состояние. См. например, Виттен 1 том теории струн. Когда я это прочел, было, конечно, дико. Ну и решил посмотреть какое УШ будет у нерелятивистской частицы, и знаете получилось Уравнение Шредингера! Так что, УШ это просто квантованная связь. Правда есть один вопрос, как быть если лагранжиан без связи?