2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 12:17 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Деля на 11, рано или поздно мы придём к новому выражению $11^n=(p-m^{10})(p+m^{10})$ где $p\pm m^{10}$ взаимно простые. Т.к. если как Вы пишите $p$ не делится на $11^{10}$, то получится $11^n=(p-11^km^{10})(p+11^km^{10})$. Откуда, $p\div11^k$ и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 12:20 


24/01/11
207
age, во, теперь понятно, спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 12:26 
Заслуженный участник


20/12/10
6591
age в сообщении #481390 писал(а):
Вы забыли его привести. Приведите.
Нет, это Вы забыли его привести, на что я и указал. Если бы я эту задачу решал, я бы рассуждал по-другому.
age в сообщении #481390 писал(а):
обобщить действительно можно именно так, как я указал.
Очень сомневаюсь, что Вы сможете доказать то, что наобобщали. Если уж с первоначальной формулировкой не справились, то что говорить о более сложных ситуациях.
age в сообщении #481390 писал(а):
прекратите флеймить и троллить
Ну, а это к чему? Опять обиделись? На этот раз на что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 12:27 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Equinoxe да сколько угодно пожалуйста 8-)

-- Чт сен 08, 2011 13:30:45 --

nnosipov в сообщении #481429 писал(а):
Нет, это Вы забыли его привести, на что я и указал. Если бы я эту задачу решал, я бы рассуждал по-другому.
Так вот и решайте. Покажите что вы тоже можете её решить. А потом будем разговаривать.
nnosipov в сообщении #481429 писал(а):
Очень сомневаюсь, что Вы сможете доказать то, что наобобщали. Если уж с первоначальной формулировкой не справились, то что говорить о более сложных ситуациях.
Сомневаетесь - я рад. 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 12:39 


24/01/11
207
nnosipov, да там правда всё очевидно :( Просто видимо стоило чуть растянуть предложение про «взаимнопростость», рассмотрев по модулю 11

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 13:19 
Заслуженный участник


20/12/10
6591
Школьникам я бы эту задачу объяснил так (это как раз уровень ЕГЭ, не выше). Пусть $m^{20}+11^n=p^2$ (все буквы обозначают натуральные числа), тогда $(p-m^{10})(p+m^{10})=11^n$. Отсюда (поскольку $11$ --- простое число и имеет место основная теорема арифметики) $p-m^{10}=11^a$ и $p+m^{10}=11^b$ для некоторых целых чисел $a$, $b$, причём $0 \leqslant a<b$. Из этих равенств вычитанием получим $2m^{10}=11^a(11^{b-a}-1)$. При $a>0$ отсюда следует, что $m$ делится на $11$. Запишем $m=11^km_1$, где $k \geqslant 1$ и $m_1$ не делится на $11$. После подстановки в равенство получим $2m_1^{10}11^{10k}=11^a(11^{b-a}-1)$. Такое возможно, только если $10k=a$ (снова ссылка на основную теорему арифметики). Сократив на $11^{10k}=11^a$, придём к равенству $2m_1^{10}=11^c-1$, где $c=b-a>0$. Если же $a=0$, то мы сразу имеем равенство $2m^{10}=11^b-1$ такого же вида. Почему оно невозможно, я выше уже объяснил.
age в сообщении #481430 писал(а):
Покажите что вы тоже можете её решить.
Очень смешно. Чем со мной препираться по пустякам, лучше бы поучились стандартным рассуждениям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 14:34 
Заслуженный участник


20/12/10
6591
Equinoxe в сообщении #481437 писал(а):
nnosipov, да там правда всё очевидно
Всё ли? Предлагаю небольшой тест: заменим $11$ на $1999$ и спросим себя: может ли сумма $m^{20}+1999^n$ быть точным квадратом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 21:02 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov
Ну здесь олимпиадный раздел, а не школьный. Объяснения школьникам необязательны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли m^20+11^n быть квадратом?
Сообщение08.09.2011, 21:11 
Заслуженный участник


20/12/10
6591
age, задача вполне школьная, и объяснение поэтому соответствующее. Не школьный (скорее, для студентов) пример я привёл в своём первом сообщении на эту тему.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group