Простое-препростое уравнение в целых числах

[arseniiv]

Порешаю, а вы скажите, если что-то неверно или слишком длинно.

$ax + by = cz$, все числа целые. Кажется, что решений счётное число. Проверим.

Для $x = y$ получим $nx = cz$, $n = a+b$. Очевидно (не пойму, как доказать), что его решения $x = y = \frac c{\gcd(n,c)}k$, $z = \frac n{\gcd(n,c)}k$ и только они.

Для $x \ne y$ можно найти такие взаимно простые $x', y'$, что $ax + by = (ax' + by')n$. Можно попробовать решать это с помощью предыдущего случая. Для этого надо найти такие $x', y'$, что $ax' + by' = \frac c{\gcd(n,c)}k$. Не имею понятия, как такие искать.

Да, теория чисел не моё. Даже с таким простым уравнением не слажу.

-- Чт сен 08, 2011 23:24:54 --

Т. е. надо нарешать совокупность уравнений $ax + by = ck$.

[nnosipov]

arseniiv в сообщении #481603 писал(а):

$ax + by = cz$, все числа целые. Кажется, что решений счётное число.

На самом деле множество решений $(x,y,z)$ (я так понимаю, что $a$, $b$, $c$ --- фиксированные коэффициенты, одновременно не равные нулю) представляет собой двумерную решётку в $\mathbb{R}^3$. Можно найти её базис и, тем самым, описать все решения уравнения как произвольные целочисленные комбинации базисных. В общем случае (т.е. для систем линейных уравнений) также будет решётка решений; для отыскания её базиса используют нормальную форму Смита для целочисленных матриц (см., например, книгу Нестеренко "Теория чисел"). Имеет смысл поэкспериментировать с конкретными примерами --- Maple их решает легко.

[arseniiv]

Спасибо!