любое объединение треуг-ков на плоскости измеримо по Лебегу

[4arodej]

Спасибо, за подсказку. Скачиваю Богачева, первый том. Вечером изучу :)

[Padawan]

Пусть $A=\cup\limits_{p\in I} T_p$ -- объединение треугольников. Каждый из треугольников $T_p$ покроем в смысле Витали треугольниками $E^{(p)}_i$, $i\in J_p$, $T_p=\cup_{i\in J_p} E^{(p)}_i$. Тогда $\cup\limits_{p\in I}\{E^{(p)}_i\}_{i\in J_p}$ -- покрытие $A$ в смысле Витали. Далее применяем теорему Витали о покрытии.

[Хорхе]

Ага, для прямоугольников (со сторонами, параллельными осям) понял: если брать действительно немаленькие прямоугольники (например, со сторонами не меньше $1/k$), то после покрытия всех внутренностей в каждом достаточно маленьком круге оставшееся множество будет подмножеством графика монотонной функции, то есть измеримым.

Ну а для треугольников уж как-то оно похоже докажется.

-- Ср сен 07, 2011 18:37:26 --

Ага, точно, Витали, прикольно.