найти плотность распределения функции от двух с.в.

[Малкин Станислав]

Помогите решить задачу пожалуйста:

Случайные величины $a$ и $b$ независимы и имеют показательное распределение с параметром c. Найти плотность распределения случайной величины $a/(a+b)$

Подскажите хотя бы куда посмотреть на пример..

Огромное спасибо!

[незваный гость]

http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=766
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=380
Их можно найти, введя в поиске слово "распределение".

[PAV]

Функция распределения требуемой величины имеет вид:

$F(t)=P\{\frac{a}{a+b}<t\}$

Далее требуется разрешить указанное неравенство, т.е. описать аналитически множество пар (a,b), для которых указанное неравенство выполнено. По этому множеству нужно проинтегрировать совместную плотность распределения пары (a,b). Это даст функцию распределения, которую затем останется только продифференцировать для получения плотности.

Обратите внимание на два тонких момента. Во-первых, плотность показательного закона равна нулю для отрицательных значений, поэтому полученное в начале множество нужно интегрировать только в пределах области a>0 и b>0. Во-вторых, из тех же соображений необходимо рассматривать только значения t из интервала [0,1], для прочих ответ очевиден.

[Малкин Станислав]

Цитата:

Далее требуется разрешить указанное неравенство, т.е. описать аналитически множество пар (a,b), для которых указанное неравенство выполнено.

Не подскажете, как это сделать? У меня что-то не получается...

[PAV]

Умножить обе части на (a+b) (используя тот факт, что их можно считать положительными), сгруппировать и выразить a через b.

[Малкин Станислав]

а t?

[PAV]

Разумеется, и через t. Но в данном случае t фиксировано и является постоянным параметром, каковым и останется до тех пор, пока вы будете искать величину функции распределения в данной точке.

[Малкин Станислав]

У меня в ответе получилось 1/c, когда t принадлежит промежутку от 0 до 1, и 0, если не принадлежит. Я правильно решил? Спасибо.

[незваный гость]

Нет. Заметьте, что интеграл плотности по пространству событий должен быть равен 1. А функция распределения монотонно растет.

[Малкин Станислав]

незванный гость писал(а):

:evil:
Нет. Заметьте, что интеграл плотности по пространству событий должен быть равен 1. А функция распределения монотонно растет.

а в чем может быть ошибка? Интеграл получился такой:

$$\int_{0}^{\infty} dx$$ $$\int_{(1-t)/t}^{\infty}\lambda^2 exp(-\lambda x)exp(-\lambda y) dy$$

Первый раз пользовался отображением математических знаков, извините за мой корявый "французкий".

[незваный гость]

Малкин Станислав писал(а):

а в чем может быть ошибка? Интеграл получился такой:

$\int_{0}^{\infty} dx \int_{(1-t)/t}^{\infty}\lambda^2 exp(-\lambda x)exp(-\lambda y) dy$

Во-первых, в интеграле (а точнее, в нижнем пределе интегрирования по $y$): $\int\limits_{0}^{\infty} {\rm d}x \!\!\!\!\int\limits_{x (1-t)/t}^{\infty} \!\!\!\! \lambda^2 e^{-\lambda x} e^{-\lambda y} {\rm d}y$. Во-вторых, во взятии интеграла.

Малкин Станислав писал(а):

Первый раз пользовался отображением математических знаков, извините за мой корявый "французкий".

Уверяю Вас, это намного лучше, чем читать сообщение на изобретенном языке. Если Вам интересно сравнить - код для формулы выше:

[math]$\int\limits_{0}^{\infty}  {\rm d}x \!\!\!\!\int\limits_{x (1-t)/t}^{\infty} \!\!\!\! \lambda^2 e^{-\lambda x} e^{-\lambda y} {\rm d}y$[/math]

.
\! - это пробел отрицательной ширины, без него вокруг второго интеграла больно большие пропуски.

[Малкин Станислав]

Задам глупый вопрос: а почему нижний придел не правильно взят?

Насчет отображения математических формул - это была не критика, а просто извинялся за то, что еще не успел освоить. Мне нравится, спасибо за код!

[незваный гость]

Малкин Станислав писал(а):

Задам глупый вопрос: а почему нижний придел не правильно взят?

Не знаю, но готов предположить, что Вы неправильно вывели границы для $b$ (через $a$ и $t$).

Малкин Станислав писал(а):

Насчет отображения математических формул - это была не критика, а просто извинялся за то, что еще не успел освоить.

Я же, тоже, пытался выразить Вам свою благодарность, что Вы осваиваете, а не заставляете всех какие-нибудь иероглифы читать. Частенько, увы, это звучит так: "Я не знаю и не хочу знать $Te\chi$, расшифруйте то, что я здесь нашкрябал(а), и срочно все помогайте мне!". Ваш, слава Богу, не таков. И код привел в надежде, что поможет осваивать.

[Малкин Станислав]

Вот этого я и не могу понять, почему границы получились не правильными....

[Малкин Станислав]

похоже я там икс потерял, правильно? внизу должно было быть $ \frac {(1-t)x} {t}$ ?