Про криволинейные системы координат

[Алексей К.]

мат-ламер,
я не пытался ответить на Ваши вопросы про биективность.
Просто привёл построение, которое мне очень понравилось: весьма необычная ортогональная система криволинейных координат.

(Подробности)

А вообще-то вслух боюсь обсуждать, как бы за дубль не отмодерили!

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #480391 писал(а):

при чем тут метрика?-)

А я заикался о метрике? ;)

alcoholist в сообщении #480391 писал(а):

систему полярных координат там, где якобиан равен нулю, не увидеть)

Не увидеть, потому что она в "полюсе" не определена :)

[Stotch]

Ладно может кто-нибудь своими словами обьяснить что такое криволинейная система координат????что бы понятно было без заморочек

[Алексей К.]

Ну Вы хотя бы с полярной системой знакомы?

Вот в обычной, декартовой, мы имеем координатные линии $x=\operatorname{const}$ и $y=\operatorname{const}$. Эти линии — прямые.

А в полярной системе, $r,\varphi$, линии $r=\operatorname{const}$ и $\varphi=\operatorname{const}$ (если их всё же нарисовать на родной привычной декартовой) — они какие?

Уравнение, например, единичной окружности в первом случае будет страшное, $y(x)=\pm\sqrt{1-x^2}$, а во втором $r(\varphi)=1$. Сравните заодно производные, $y'_x$, и $r'_\varphi$. И для каких-то задачек это окажется страшно удобно.

[alcoholist]

Kallikanzarid в сообщении #480485 писал(а):

А я заикался о метрике? ;)

геодезических без метрики не бывает... Ваши ведь слова:

Kallikanzarid в сообщении #480375 писал(а):

в этом случае мы можем называть прямолинейными карты, координатные линии которых - геодезические

-- Пн сен 05, 2011 22:45:56 --

Stotch в сообщении #480509 писал(а):

Ладно может кто-нибудь своими словами обьяснить что такое криволинейная система координат?

нет понятия -- нет определения... это условность по большому счету:))

Хотя обычно под криволинейной системой координат в евклидовом пространстве понимается такая, в которой метрический тензор не является постоянной функцией координат

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #480645 писал(а):

геодезических без метрики не бывает... Ваши ведь слова:

Ну как же? http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_connection

[alcoholist]

О.к. формально -- я не прав

но для определения "геодезических" нужна дополнительная структура -- параллельный перенос (=связность), а никакой связности, когда мы рассуждаем о "системах координат", нет

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #480653 писал(а):

но для определения "геодезических" нужна дополнительная структура -- параллельный перенос (=связность), а никакой связности, когда мы рассуждаем о "системах координат", нет

Почему это нет? Я тут детектировал постоянно всплывающую ниндзя-связность, получаемую переносом обычной связности на $\mathbb{R}^n$ по координатному отображению фиксированной карты :)

[Circiter]

2Stotch

Цитата:

Ладно может кто-нибудь своими словами обьяснить что такое криволинейная система координат?

Вот как вы обычно систему координат на бумажке вводите-рисуете? Ставите точку --- начало отсчета, --- потом рисуете координатные оси, под прямым углом друг к другу, потом отмечаете единичные отрезки --- орты --- на осях, правильно? А кто сказал, что оси надо рисовать под прямым углом? А кто сказал, что оси рисуются прямыми линиями? А кто сказал, что все точки на вашей бумаге должны жить в этой одной единственной нарисованной вами системе координат? Вот в том-то и прикол. Каждая точка может иметь свои собственные оси координат, под любым углом друг к другу.

Ещё раз, обычная прямолинейная декартова система координат хорошо вам знакома -- две прямые оси под прямым углом. А теперь посмотрите на картинку, размещенную участником Алексей К. -- вот эти линии суть тоже координатные оси, и они вроде как даже под прямым углом друг к другу расположены, но каждая точка имеет свой "репер" и общая картина становится весьма замысловатой -- криволинейной.

Чуть-чуть технических деталей. Допустим, даны орты $i,\ j\in\mathbb{R}^2$. Пусть некоторая точка задается вектором $v$. Он разлагается по базису как $v=xi+yj$, при этом числа $x,\ y\in\mathbb{R}$ - его декартовы координаты. Но мы можем тот же вектор выразить и в криволинейных координатах $\xi,\ \zeta$ как $v=\xi k+\zeta h$. При этом криволинейные координаты суть функции от декартовых прямолинейных, т.е., $\xi=f(x,\ y)$ и $\zeta=g(x,\ y)$. При этом новый базис $k,\ h$ связан со старым $i,\ j$ примерно так: $k=\frac{\partial x}{\partial \xi}i+\frac{\partial y}{\partial \xi}j$ и $h=\frac{\partial x}{\partial \zeta}i+\frac{\partial y}{\partial \zeta}j$. Причем, $k,\ h$ могут меняться от точки к точке.

Частные производные $\partial x/\partial \xi$, $\partial y/\partial \xi$, $\partial x/\partial \zeta$ и $\partial y/\partial \zeta$ записывают в $2\times 2$ матрицу-якобиан. Когда мы переходим между двумя типами координат, нам приходится решать систему уравнений, а достаточным условием обратимости, как вы знаете, как-раз и является неравенство нулю определителя матрицы. Наверное вы про это говорили...

Оси прямолинейных координат рисуются уравнениями $x=0$ и $y=0$; точно также и для криволинейных: $\xi=0$ и $\zeta=0$. Линии эти получаются кривыми, отсюда и название.

Я тут мог надопускать ужасных ошибок, так что дальше - книжки, по дифференциальной геометрии например.

[alcoholist]

Kallikanzarid в сообщении #480671 писал(а):

обычной связности на

так она -- леви-чивитовская... метрика опять же)

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #480749 писал(а):

так она -- леви-чивитовская... метрика опять же)

Ну и чО? :) Если говорим о том, что какая-то система координат криволинейна относительно какой-то другой, то иначе и не получится.

[alcoholist]

Kallikanzarid в сообщении #480761 писал(а):

Если говорим о том, что какая-то система координат криволинейна относительно какой-то другой, то иначе и не получится

в чем предмет спора?