стержень соскальзывает

[Oleg Zubelevich]

Тонкий стержень касается гладкой опоры A и соскальзывает своим концом по гладкой опоре B. Доказать, что скорость точки стержня, в которой он касается A параллельна стержню.

Такого типа задач тут было несколько, но решений не было. Это одна из общих формулировок.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #480149 писал(а):

Доказать, что скорость точки стержня, в которой он касается A параллельна стержню.

Решение:

"Это очевидно."

[Oleg Zubelevich]

Так. Один заслуженный участник расписался в том, что он эту задачу решить не может.

[ewert]

Вы не заметили, в каком Вы разделе?... В физическом. И физически это тривиально: при малом смещении стержня его направление почти не меняется, вот и всё.

[gris]

А в условии подразумевается, что задача двумерная? А то можно подумать, что стержень может соскальзывать "вбок". Ну понятно, что дело происходит в плоскости картинки.
Если рассмотреть проекцию скорости указанной точки на сам стержень, то она по модулю будет равна этой скорости, а это возможно лишь когда скорость параллельна стержню.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #480164 писал(а):

Вы не заметили, в каком Вы разделе?... В физическом. И физически это тривиально: при малом смещении стержня его направление почти не меняется, вот и всё.

Боюсь, что номер с "тривиально" и с "почти не меняется" у Вас не пройдет: задача классическая, содержится в задачниках, используется в практических занятиях на московском мех-мате и на питерском.

gris в сообщении #480194 писал(а):

А в условии подразумевается, что задача двумерная?

Конечно.

gris в сообщении #480194 писал(а):

Если рассмотреть проекцию скорости указанной точки на сам стержень, то она по модулю будет равна этой скорости,

а это почему?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #480222 писал(а):

на московском мех-мате и на питерском.

Во-первых, на питерском мехмате это не возможно в принципе; на московском -- допустим. Во-вторых, мы сейчас не на мехмате, а в физике.

Ладно, не нравится предыдущее доказательство -- скажем иначе. Очевидно, что траектория любой точки на стержне касается линии опоры (той, что сверху). А сам стержень -- это в любом положении касательная к опоре, и в тот момент, когда та точка дойдёт до опоры, стержень автоматически окажется касательной и к траектории.

Это если под "точкой касания" понимать некоторую фиксированную точку на стержне, которой тот в какой то момент касается опоры. Если же речь о перемещении точки касания в буквальном смысле, то утверждение просто тривиально.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #480239 писал(а):

Очевидно, что траектория любой точки на стержне касается линии опоры

а чем это отличается от предыдущего "доказательства"?

ewert в сообщении #480239 писал(а):

Во-вторых, мы сейчас не на мехмате, а в физике.

Сильный аргумент.
Я дальше Ваши опусы комментировать не буду. Только если появится решение.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #480245 писал(а):

а чем это отличается от предыдущего "доказательства"?

Тем, что предыдущее было совсем на другом языке -- там речь шла о бесконечно малых приращениях, здесь же -- о геометрических свойствах. К тому же тот вариант был изложен неполно; но могу и развернуть, это нетрудно.

Рассмотрим ту самую точку на стержне в два момента времени: чуть-чуть до момента касания и чуть-чуть позже. Наклон линии, соединяющей эти точки, является промежуточным между наклонами стержня в эти два момента. А эти два наклона близки между собой и близки к наклону стержня в момент касания. Ч.т.д.

Oleg Zubelevich в сообщении #480245 писал(а):

Сильный аргумент.

Сильный ли, слабый ли, но он по существу. Например, то, что траектория той точки гладкая и монотонная, математику надо доказывать честно, физику же это очевидно. Но ведь Вы-то запостили это именно в физику.

[Oleg Zubelevich]

Решение.
Введем подвижную систему координат $OXY$: $O$ -- точка контакта стержня с опорой A; ось $OX$ направлена вдоль стержня.
Точку стержня, которая в данный момент времени касается опоры обозначим за $C$. Тогда $v_{C}=v_r+v_e$. Поскольку в подвижной системе координат стержень совершает поступательное движение вдоль $OX$, относительная скорость $v_r$ точки $C$ направлена вдоль оси $OX$, а значит, по построению, и вдоль стержня. Переносная скорость $v_e$ это скорость точки $O$, которая движется по гладкой кривой -- краю опоры. Поэтому скорость точки $O$ направлена по касательной к краю опоры т.е. вдоль стержня. ЧТД.

[Himfizik]

Oleg Zubelevich, так ведь вроде изложенное Вами решение - есть просто чуть более формальное рассуждение с привлечением относительности движения и не более того. Я к тому, что "очевидность" в таких задачах непременно побеждает необходимость "строгого" обоснования. Кстати, а что здесь олимпиадного?

[Oleg Zubelevich]

Himfizik в сообщении #480276 писал(а):

Я к тому, что "очевидность" в таких задачах непременно побеждает необходимость "строгого" обоснования

В каких "таких задачах"? В которых Вы не в состоянии привести строгое обоснование?

[Himfizik]

Oleg Zubelevich в сообщении #480280 писал(а):

В каких "таких задачах"? В которых Вы не в состоянии привести строгое обоснование?

В таких задачах, где доказательство излишне... просто в силу простоты формулировки условия.
А разве оно (то бишь строгое обоснование) здесь к месту?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #480280 писал(а):

В которых Вы не в состоянии привести строгое обоснование?

Далась Вам эта строгость. Ну пожалуйста; вот абсолютно строгое формальное обоснование примерно тех соображений, которые я приводил раньше.

Сначала -- формальная схема. Обозначим для удобства точку на стержне, за которой мы следим, через $M$. Пусть расстояние от этой точки до левого конца стержня есть $l$ (оно, естественно, постоянно) и пусть $c,\ s$ -- косинус и синус угла наклона стержня; в момент, когда точка $M$ касается опоры, полагаем $c=c_0$ и $s=s_0$. Рассмотрим небольшой сдвиг левого конца стержня на $\Delta x$ по горизонтали. Тогда перемещение точки $M$ -- это $\overrightarrow{\Delta r}=(\Delta x+l\Delta c\;;l\Delta s)$.

Новая касательная пересечётся со старой где-то недалеко от $M$; обозначим через $\Delta l$ расстояние от точки пересечения до $M$ (вдоль старого положения стержня) и через $\Delta\varphi$ изменение угла наклона. Тогда при $\Delta x\to0$:

$\Delta x=-(l-\Delta l)s_0\cdot\Delta\ctg\varphi\quad\Rightarrow\quad\dfrac{\Delta x}{\Delta\varphi}=-(l-\Delta l)s_0\cdot\dfrac{\Delta\ctg\varphi}{\Delta\varphi}\,\to\,\dfrac{l}{s_0};$

$\dfrac{\overrightarrow{\Delta r}}{\Delta x}=\dfrac{\overrightarrow{\Delta r}}{\Delta\varphi}\cdot\dfrac{\Delta\varphi}{\Delta x}=\left(\dfrac{\Delta x}{\Delta\varphi}+l\dfrac{\Delta c}{\Delta\varphi};\;l\dfrac{\Delta s}{\Delta\varphi}\right)\cdot\dfrac{\Delta\varphi}{\Delta x}\,\to\,\left(\dfrac{l}{s_0}-ls_0;\;lc_0\right)\dfrac{s_0}{l}=\dfrac{c_0}{l}(lc_0;\;ls_0).$

Другими словами, ${\vec r\;}'(t)=x'(t)\cdot\dfrac{\vec l}{|\vec l|}\cdot\cos\varphi,$ где $\vec l$ -- это вектор, соединяющий левый конец стержня с точкой касания. Т.е. если скорость перемещения левого конца существует и не равна нулю, то скорость перемещения точки $M$ тоже существует, направлена вдоль стержня и мы даже знаем, чему она равна.

Что здесь нужно для корректности? Только одно: чтобы было $\Delta l\to0$ при $\Delta x\to0$. Это мгновенно следует из строгой выпуклости верхней опоры, поскольку тогда положение точки касания непрерывно зависит от перемещения левого конца (без строгой же выпуклости просто разваливается сама формулировка задачи). А вот гладкость верхней опоры вовсе и не обязательна. (Гладкость нижней, конечно, нужна; я ограничился случаем горизонтального перемещения только чтоб не возиться с лишнми значками -- ясно, что там принципиально ничего не изменится.)

Вот так или примерно так бы я стал доказывать, будучи математиком. Однако здесь я, будучи человеком законопослушным -- физик, и потому просто говорю, что это очевидно.

(Оффтоп)

Вы же, между прочим, непоследовательны: говорите про существование каких-то скоростей, проверить же их существование даже не удосуживаетесь. Мне (в этой ветке) такое было бы ещё простительно, но не Вам как приверженцу абсолютной строгости.

[Батороев]

Oleg Zubelevich в сообщении #480149 писал(а):

Тонкий стержень касается гладкой опоры A и соскальзывает своим концом по гладкой опоре B. Доказать, что скорость точки стержня, в которой он касается A параллельна стержню.


Такого типа задач тут было несколько, но решений не было. Это одна из общих формулировок.

И что?! В каждой из задач надо было доказывать, что точка касания принадлежит стержню и вне его находится не может, а посему ее скорость всегда направлена вдоль стержня?!!!