Есть! я, кажется понял!
Посмотрите пожалуйста, правильно ли я доказываю?
Вот есть у нас 2 натуральных числа

и пусть, например

буду делить a на b с остатком

затем разделю делитель b на остаток

и тут разделю делитель (

) на остаток (

) и так до тех пор пока остаток не окажется равным нулю.
(1)
(2)
(3)......................................
(4)
(5)"двигаясь по этому столбцу формул вверх", я получу, что

- общий делитель чисел a и b. А "двигаясь сверху вниз", я буду рассуждать так.
< Начало рассуждения_1> пусть l = НОД(a,b);
// а можно представить в виде произведения НОДа и натурального числа.
// аналогично тогда из (1) получаю что

делится на НОД(a,b)
< конец рассуждения_1>Рассуждая аналогично
рассуждению_1, я замечу что и

делится на НОД(a,b),

делится на НОД(a,b) ....

делится на НОД(a,b).
А так как НОД(a,b) он НОД(a,b), то из всех общих делителей чисел а и b , на НОД(a,b) может делиться только НОД(a,b), значит

НОД(a,b).
ЗЫ Это, последние, предложение можно как-нить вообще по человечески записать?