Установление зависимости при известной точности измерений

[AndreyL]

Задачка нарисована на рисунке.

Есть серия измерений, точность их известна (на самом деле может быть не одинаковой). По этой серии пытаемся построить регрессию (в данном случае квадратичную). Получается, что зависимость, вроде бы, есть, но весь размах данных полностью укладывается в известную точность измерений, при этом невязка явно меньше этой известной точности.
Вопрос: как проверить гипотезу о наличии зависимости, если точность измерений известна? Если бы не известна, но в качестве оценки этой точности можно было бы принять невязку и воспользоваться критерием Фишера, а как быть, если ошибка известна?

[Евгений Машеров]

А сравнить дисперсию невязки с ожидаемой дисперсией ошибки измерения?
Посчитать дисперсию невязки (с учётом числа степеней свободы), разделить на известную дисперсию, получить величину с распределением $\chi^2$ и посмотреть значимость?

[AndreyL]

Давайте введем обозначения $x_i$ - независимая переменная, $y_i$ - измеренные значения зависимой переменной, $f_i=f(x_i)$ - значения зависимой переменной, ожидаемые (рассчитанные) по регрессии.
Если я Вас правильно понял, то Вы предлагаете $s^2=(n-m)^-^1\sum _{i=1}^n (f_i-x_i )^2$ и $\chi^2=\frac{(n-m) s^2}{\sigma ^2}$, но тогда мы проверим гипотезу о равенстве невязки известной ошибке, а не гипотезу о зависимости $y$ от $x$

[AndreyL]

Во пока чего придумал:
по аналогии с дисперсионным анализом нужно сравнить объясненную дисперсию

$$s_{reg}^2=(m-1)^-^1\left(\sum _{i=1}^n (y_i-\overline{y_i })^2-\sum _{i=1}^n (f_i-y_i )^2\right)=(m-1)^-^1\sum _{i=1}^n (f_i-\overline{f_i })^2$$

имеющую $m-1$ степеней свободы, с известной ошибкой $\sigma ^2$. Тогда в случае равенства статистика $\chi^2=\frac{(m-1) s_{reg}^2}{\sigma ^2}$ подчиняется $\chi^2$ с $m-1$ степенями свободы. Правда в статистике не учитывается объем выборки, точнее, учитывается неявно, в сумме. Насколько корректен будет такой подход?