Ни для какого пр-ва X произведение XX не гомеоморфно R

[xmaister]

Здравствуйте! Попалась вот такая задача:
Доказать, что ни для какого топологического пространства $X$ пространство $\mathbb{R} не гомеоморфно $X\times X$.

Была мысль попробовать выколоть из $\mathbb{R}$ одну точку, тогда оно будет не связно, в то время как $X\times X$ остаётся связным. До конца не довёл, подскажите как иначе можно подойти к этой задаче.

Ещё интересует такой вопрос: Существует ли такое топологическое пространство $X$, что $X\times X\times X$ гомеоморфно $\mathbb{R}^2$.

[Someone]

xmaister в сообщении #479551 писал(а):

Была мысль попробовать выколоть из $\mathbb{R}$ одну точку, тогда оно будет не связно, в то время как $X\times X$ остаётся связным. До конца не довёл, подскажите как иначе можно подойти к этой задаче.

Идея правильная, и должно получиться. Заметим, что $X$ содержит больше одной точки.
У нас есть гомеоморфизм $\varphi\colon\mathbb R\to X\times X$ и проекция $\pi_1\colon X\times X\to X$ произведения на первый сомножитель. Заметьте, что непрерывный образ связного пространства является связным пространством. Точки произведения $X\times X$ удобно представлять как упорядоченные пары $(x,y)$, тогда $\pi_1(x,y)=x$.
Рассмотрим две такие точки $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X\times X$, что $x_1\neq x_2$ и $y_1\neq y_2$. Пусть $t_1,t_2\in\mathbb R$ - такие точки, что $\varphi t_1=(x_1,y_1)$ и $\varphi t_2=(x_2,y_2)$ (почему они существуют?). Пусть $t_0\in\mathbb R$ лежит между $t_1$ и $t_2$. Тогда $\mathbb R\setminus\{t_0\}$ не связно, причём, $t_1$ и $t_2$ лежат в разных компонентах связности.
Постройте два связных множества $A,B\subseteq X\times X$, удовлетворяющих условию $A\cap B=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$. Выведите отсюда, что $(X\times X)\setminus\{\varphi t_0\}$ связно.