И совсем просто, если обобщить задачу и доказывать по индукции, что
![$\sin P(n)\not\to0$ $\sin P(n)\not\to0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/b/07bc5cbe4aa6ed2cc26911fa433ea3e182.png)
для вообще любого многочлена
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
с целыми коэффициентами.
Я имел в виду что-то вроде такого утверждения:
Пусть
![$f(x)=a_mx^m+\ldots+a_1x+a_0$ $f(x)=a_mx^m+\ldots+a_1x+a_0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/d/badd4f7d27c0bfbfbd76315c84daad4782.png)
--- многочлен степени
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
с вещественными коэффициентами, причем
![$a_k \not \in \mathbb{Q}$ $a_k \not \in \mathbb{Q}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/a/a2ab3b953a6b98c619dd2b57100ec10282.png)
хотя бы для одного
![$k \geqslant 1$ $k \geqslant 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/7/9376e73e74ca345b260c0aa0ff58a81f82.png)
. Тогда последовательность
![$z_n=\exp{(2\pi if(n))}$ $z_n=\exp{(2\pi if(n))}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/0/7d0c7f09c99cfd1feabbcdf91f8825c882.png)
имеет бесконечно много предельных точек.
Доказательство. При
![$m=1$ $m=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/9/e29e762506bcf0ecec79815ae38fbb5e82.png)
утверждение хорошо известно и даже в более сильной формулировке: последовательность
![$z_n=\exp{(2\pi i(a_1n+a_0))}$ $z_n=\exp{(2\pi i(a_1n+a_0))}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/4/b3439c0774b52bdfd0376a2d9430414882.png)
, где
![$a_1 \not \in \mathbb{Q}$ $a_1 \not \in \mathbb{Q}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/0/de0563519fa28119de880b090f5dd47d82.png)
, всюду плотна на единичной окружности
![$|z|=1$ $|z|=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/6/d06ac971dbeb00f7884d1fc4755c05e082.png)
). Пусть теперь
![$m>1$ $m>1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/f/f8f3a61baf1d2600f63cbb4a5b99559082.png)
. Обозначим
![$m_0=\max{\{k:a_k \not \in \mathbb{Q}\}}$ $m_0=\max{\{k:a_k \not \in \mathbb{Q}\}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/d/94dd81a66bef85473333c439e90486e782.png)
. Имеем
![$z_n=z_n'z_n''$ $z_n=z_n'z_n''$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/b/29b716b255b285445e9bc2532872758d82.png)
, где
![$$
z_n'=\exp{(2\pi if_1(n))}, \quad z_n''=\exp{(2\pi if_2(n))}, \quad
f_1(x)=a_{m_0}x^{m_0}+\ldots+a_1x+a_0, \quad f_2(x)=f(x)-f_1(x).
$$ $$
z_n'=\exp{(2\pi if_1(n))}, \quad z_n''=\exp{(2\pi if_2(n))}, \quad
f_1(x)=a_{m_0}x^{m_0}+\ldots+a_1x+a_0, \quad f_2(x)=f(x)-f_1(x).
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/e/67e09756afa49dc98be5ec7481d3932982.png)
Если
![$m_0<m$ $m_0<m$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/0/a5084f913b8f9235c4feb5232ef6295c82.png)
, то последовательность
![$z_n$ $z_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/8/a5877527319d66afa46d823ccc099bf482.png)
обязана иметь бесконечное множество предельных точек, так как этим свойством обладает последовательность
![$z_n'$ $z_n'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/8/3a820bf8e158cad006465377d1efd1e382.png)
(по предположению индукции), а последовательность
![$z_n''$ $z_n''$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/9/5a96c4617d9d42a7bdafbce158f5645582.png)
--- периодическая (и, следовательно, имеет лишь конечное число предельных точек, при этом все они отличны от
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
). В случае
![$m_0=m$ $m_0=m$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/7/a17824545d537951c91d997262d1aee582.png)
рассмотрим последовательность
![$w_n=z_n/z_{n-1}=\exp{(2\pi ig(n))}$ $w_n=z_n/z_{n-1}=\exp{(2\pi ig(n))}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/0/4d0709dae26365444b8b9a7d452f794582.png)
, где
![$g(x)=f(x)-f(x-1)=ma_mx^{m-1}+\ldots{}$ $g(x)=f(x)-f(x-1)=ma_mx^{m-1}+\ldots{}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/90239768d95838c145877c16e7728ab482.png)
По предположению индукции последовательность
![$w_n$ $w_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/b/80b9fee7e0e779ec9d7bea646ab66ee782.png)
имеет бесконечно много предельных точек. Значит, множество предельных точек последовательности
![$z_n$ $z_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/8/a5877527319d66afa46d823ccc099bf482.png)
также не может быть конечным.