Задача по НОШКМ

[ton007]

Школьник в течении года решает каждый день хотя бы 1 задачу. Каждую неделю не более 12 задач. Доказать, что найдётся несколько последовательных дней, в которых он решает ровно 20 задач.

[Юстас]

Пусть в ячейке $n$ записано количество задач, решенных к $n$-му дню. Перепишем эту таблицу по $mod\ 20$. Тогда найдется число, встретившееся в таблице хотя бы $[365:20]+1=19$ раз. Если "реальное" расстояние между этими числами 20, то всё доказано. Пусть оно больше 20, то есть хотя бы 40. Тогда Всего ученик решил не менее $19\cdot 40=760$ задач. В году $365:7\leq 53$ недель, но тогда найдется неделя, в которой решено не менее $[760:53]=14$ задач, чего не может быть, поэтому необходимая последовательность дней с 20ю решенными задачами найдется.
P.S. Любопытно, что такое НОШКМ? По-моему, здесь принцип Дирихле в чистом виде.

[ton007]

НОШКМ это научные основы школьной математики. Нам к зачёту задачи дали.

Добавлено спустя 7 минут 38 секунд:

Такой вопрос: почему, если больше 20, то хотя бы 40? И спасибо за решение, а то мои варианты решений он не принимал. Может на этот раз сдам?!

[Brukvalub]

ton007 писал(а):

Такой вопрос: почему, если больше 20, то хотя бы 40

-следующее после 20 число, делящееся на 20-это 40

[ton007]

Ещё вопрос: Нам нужно найти несколько последовательных дней, а Юстас пишет, что ""реальное" расстояние между этими числами 20". Это как?
Да, вот такой я тупой...

[RIP]

ton007 писал(а):

Ещё вопрос: Нам нужно найти несколько последовательных дней, а Юстас пишет, что ""реальное" расстояние между этими числами 20". Это как?

Пусть $N_n$ - количество задач, решенных за первые $n$ дней. Рассмотрим такие $i<j$, что
$N_i\equiv N_j\pmod{20}$. "Реальное расстояние" означает $N_j-N_i$, это количество задач, решенных за дни $i+1,i+2,\ldots,j$.

Добавлено спустя 7 минут 42 секунды:

Кстати, ton007, рекомендую удалить Ваш пост из "помогите решить/разобраться", поскольку дублирование сообщений запрещено правилами форума. Если Вам еще не до конца понятно решение, то задавайте вопросы сюда.

[xolms]

Только вот кол-во задач не менее чем 18*40, а не 19*40(между 19 точками-18 расстояний),и тогда[720:53]=13, но ответ это конечно не меняет