Равномерная непрерывность функции

[икс и грек]

При каких значения $a$ функция $y=\sin(x^{a})$ равномерно непрерывна?

[RIP]

Я так понимаю, речь идет о равномерной непрерывности на $(0;+\infty)$.
А где Ваши собственные идеи? Это несложная задача.
Для начала вспомните определение равномерной непрерывности.

[Brukvalub]

икс и грек писал(а):

При каких значения $a$ функция $y=Sin(x^{a})$ равномерно непрерывна?

Вопрос не имеет смысла без указания множества, на котором функция должна быть равномерно непрерывна.

[икс и грек]

Я думаю, нужно рассмотреть разность $|sin(x^a)-sin(z^a)|=2*|cos((x^a+z^a)/2)|*|sin((x^a-z^a)/2)|<=2*1*$
$*|sin((x^a-z^a)/2)|<=2*|x^a-z^a|/2=|x^a-z^a|$.
Если $|x^a-z^a|<\delta\ \forall \delta>0$, то и $|sin(x^a)-sin(z^a)|<\delta$, т.е. функция равномерно непрерывна на $R$

[RIP]

икс и грек писал(а):

Если $|x^a-z^a|<\delta\ \forall \delta>0$, то и $|sin(x^a)-sin(z^a)|<\delta$, т.е. функция равномерно непрерывна на $R$

Я слегка не понял эту фразу.

P.S. Прошу прощения. Выше я написал глупость. Функция не определена на всем $\mathbb{R}$ (при некоторых значениях $a$). Поправил свое сообщение. Поэтому прежде всего стоит ответить на замечание Brukvalubа

[икс и грек]

Да, последняя фраза неверна. Давайте рассматривать равномерную непрерывность на $(0,+\infty)$. Тогда определение запишется так: если $\forall \epsilon>0\ \exists \delta(\epsilon)>0 : \forall x,z>0 : |x-z|<\delta \ |sin(x^a)-sin(z^a)|<\epsilon$, то функция равномерно непрерывна.

[Brukvalub]

икс и грек писал(а):

Да, последняя фраза неверна. Давайте рассматривать равномерную непрерывность на $(0,+\infty)$. Тогда определение запишется так: если $\forall \epsilon>0\ \exists \delta(\epsilon)>0 : \forall x,z>0 : |x-z|<\delta \ |sin(x^a)-sin(z^a)|<\epsilon$, то функция равномерно непрерывна.

-здесь тоже неплохо бы добавить логическую связку между двумя последними высказываниями|x-z|<\delta ??? \ |sin(x^a)-sin(z^a)|<\epsilon

[икс и грек]

Если из $|x-z|<\delta$ следует, что $|sin(x^a)-sin(z^a)|<\epsilon$, то функция равномерно непрерывна.

[Brukvalub]

Все хорошо, осталось найти все а, и задача решена!

[Дядя Фёдор]

Цитата:

"икс и грек"]Если из $|x-z|<\delta$ следует, что $|sin(x^a)-sin(z^a)|<\epsilon$, то функция равномерно непрерывна.

$ |sin(x^a)-sin(x^b)| = |2*cos((x^a+y^a)/2)*sin((x^a-y^a)/2)| \approx 2*|sin((x^a-y^a)/2)| \approx a* \theta^{a-1} *|x-y| \approx a*\delta * \theta^{a-1}, \theta \in [x,y] $

Другими словами, если а больше единицы, то всегда можно взять икс и игрек достаточно далеко и равноменой непрерывности не будет, если же меньше, то будет плохо около нуля, насколько плохо - видимо можно оценить рассмотрев разложение синуса в ряд Тейлора в нуле.

[Brukvalub]

Дядя Фёдор писал(а):

Другими словами, если а больше единицы, то всегда можно взять икс и игрек достаточно далеко и равноменой непрерывности не будет, если же меньше, то будет плохо около нуля, насколько плохо - видимо можно оценить рассмотрев разложение синуса в ряд Тейлора в нуле.

-если а положительно, то функция $sin(x^a)$непрерывна в нуле, и тогда она, по теореме Кантора, равномерно непрерывна на любом отрезке с левым концом в нуле , поэтому Ваше замечание, вообще говоря, неверно, и проблемы в нуле начнутся только для отрицательных а.

[APTEM]

В принципе, при неотрицательном альфа она равномерно непрерывна и от 0 до плюс бесконечонсти. При отрицательном альфа она не будет равномерно непрерывной в данной области.

[Brukvalub]

APTEM писал(а):

В принципе, при неотрицательном альфа она равномерно непрерывна и от 0 до плюс бесконечонсти. При отрицательном альфа она не будет равномерно непрерывной в данной области.

- при а>1 равномерной непрерывности не будет, и я так и не понял, в каком принципе?

[APTEM]

Да, верно, я ошибся, и "в принципе" можно также считать еще одной моей ошибкой.

[Dan_Te]

А еще можно так: при $a\in (0,1]$ функция равномерно непрерывна на $[0,\infty)$ как композиция двух равномерно непрерывных.

Про случай $a>1$ хотел написать "для любого $\delta>0$ легко подобрать такие $y,y'$, что...", но в действительности их не так уж легко подобрать, в две строчки не уместилось. Хотя из неограниченности производной они несложно находятся.