Сходимость знакоперменного ряда

[xmaister]

При каких $\alpha$ ряд $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\ln n}{n^\alpha}$ сходится?
Промажорировать $\sum_{k=1}^{n}\cos\ln k=\operatorname{Re}(1^i+\ldots +n^i)$ что-то не получается.
Может это уже обсуждалось?

Благодарю.

[xmaister]

удалено

[Sonic86]

При $\alpha > 1$ сходится, а при $\alpha = 1$ - уже нет по интегральному признаку.

[SpBTimes]

Sonic86 в сообщении #478830 писал(а):

а при $\alpha = 1$ - уже нет по интегральному признаку.

По интегральному признаку нельзя, знакопеременный же. Или вы про абсолютную?

-- Вт авг 30, 2011 10:04:57 --

$|\sum\limits_{[e^{2 \pi n}] + 1}^{[e^{2 \pi n + \pi/2}]} \frac{\cos{\ln(n)}}{n^{a}}| = $
$= |\frac{\cos{\ln([e^{2 \pi n}] + 1)}}{([e^{2 \pi n} + 1])^{a}} + ... + \frac{\cos{\ln([e^{2 \pi n+\pi/2}])}}{([e^{2 \pi n+\pi/2}])^{a}}| $

[ewert]

SpBTimes в сообщении #478862 писал(а):

По интегральному признаку нельзя,

Нельзя формально, но вполне можно фактически. Та странная сумма, которую Вы написали -- если привести её в чувство, то она окажется интегральной, т.к. логарифм меняется очень-очень медленно. Однако теперь, когда ответ мы уже знаем, лучше про интегральный признак забыть и просто указать на то, что по соответствующим долям периодов (например, по $n\in[e^{2\pi m};e^{2\pi m+\frac{\pi}{4}}]$) нарушается критерий Коши, грубо оценив косинус снизу.

[SpBTimes]

ewert в сообщении #478887 писал(а):

Та странная сумма

Это как раз и есть критерий Коши, ведь осталось только оценить. Или что-то не так?

-- Вт авг 30, 2011 11:07:24 --

ewert в сообщении #478887 писал(а):

Нельзя формально, но вполне можно фактически.

Понял, спасибо. Нас же интересует хвост ряда, а там действительно очень "долго" сохраняется знакопостоянство

[ewert]

SpBTimes в сообщении #478889 писал(а):

Это как раз и есть критерий Коши, ведь осталось только оценить. Или что-то не так?

Не так пределы записаны. И модули ни к чему. И очень неудачно то, что пи именно пополам -- это сильно затрудняет оценку, надо поставить поменьше.

[Sonic86]

SpBTimes в сообщении #478862 писал(а):

По интегральному признаку нельзя, знакопеременный же. Или вы про абсолютную?

Если не вру, то для вялорастущих функций (не быстрее экспоненты, да и зачем здесь экспонента?) - можно через формулу суммирования Эйлера-Маклорена

[SpBTimes]

ewert в сообщении #478906 писал(а):

надо поставить поменьше.

Да, это проглядел