Geometry problem

[ins-]

Trangle ABC with incenter I is inscribed in circle k. AL is the angle bisector of the angle <A (L is on BC). A circle with radii AI intersects k at the points D and E. F is the intersection point of AL and DE. Prove that IL=IF.

[Dimoniada]

Beautiful problem!
Solution in generally:
Let's $AL \bigcap k = W_1$ and $AF = x, FI = y, IL = z, LW_1 = t$, then we have such system:

$$ -\begin{cases} (2x+y)y = x(y+z+t)\\ (2t+z)z = t(z+y+x) \end{cases} $$

from which $(y-z)(x+y+z+t) = 0$

[nnosipov]

Ну уж если вычислять, так с комплексными числами. Правда, тогда совсем неинтересно --- всё получается само собой и механически. В общем, типичная задача "конструктивного" типа. Решение без вычислений было бы любопытно посмотреть.

[ins-]

You can see this one:

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=427075

I believe even simpler solution is possible.

[vvsss]

Для тех, кто не владеет английским в совершенстве и любит геометрические решения.
Условие. AL - биссектриса треугольника АВС, I- центр вписанной окружности, k - окружность АВС, m - окружность с центром А, радиусом AI, F- точка пересечения радикальной оси k и m с биссектрисой. Докажите, что FI=LI.
Решение.
P-точка пересечения AL и k. Тогда РВ = РС = PI. Окружность n
с центром Р радиусом PI. В I она касается m.

Пусть PD и РE- касательные к вписанной окружности (D,E на k).
Тогда PI биссектриса ∠DPE, AI = AE = AD.

O - радикальный центр окружностей k,m,n, OI⊥AP и
OI биссектриса ∠BОD, значит, FI=LI.