Знакочередующиеся ряды

[integral2009]

Исследовать на сходимость ряды.

1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos^5(2n)}{\ln(n+1)}$

Похоже на признак Дирихле, но как доказать ограниченность частичных сумм $\sum\limits_{k=1}^{n}\cos^5(2k)$?

2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\Big(\dfrac{\sin n}{n^{1/3}}\Big)$

Ряд знакочередующийся, поэтому нельзя применить сходу $\sin\Big(\dfrac{\sin n}{n^{1/3}}\Big)\sim \dfrac{\sin n}{n^{1/3}}+$ Нужно ли выписывать еще члены разложения?

3) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{1/4}}\cos{\dfrac{\pi(n^2+1)}{n}}$

Похоже на Дирихле, но как тут доказывать ограниченность частичных сумм $\sum\cos{\dfrac{\pi(n^2+1)}{n}}$?
Можно ли сослаться на то, что частичные суммы $\sum\cos(n)$ ограниченны, из этого следует ограниченность данных частичных сумм? Однако при $n\to\infty$ частичные суммы $\sum\cos{\dfrac{\pi(n^2+1)}{n}}$ ведут себя как $(-1)^n$

4) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin(n^2)$

Как к такому ряду можно подойти, нет вариантов. С чего начать?)

[alcoholist]

integral2009 в сообщении #478727 писал(а):

но как доказать ограниченность частичных сумм ?

достаточно того, что $\cos^5(x)$ -- линейная комбинация конечного числа слагаемых вида $\cos mx$

integral2009 в сообщении #478727 писал(а):

2)

я, конечно, забыл уже всё, но если так: $\sum x_n=\sum n^{-1/3}(n^{1/3} x_n)$ и по Дирихле?

3) куда уж проще... $\cos(\pi n+\pi/n)=\ldots$

4) напоминает мнимую часть гауссовой суммы $\sum e^{in^2}$

[SpBTimes]

1) Оцените интегралом
2) нужно
3) доказывается так же, как и раньше - умножением на нужную триг. функцию с нужным аргументом.

[alcoholist]

Вообще-то, такие ряды называются знакопеременными:)

-- Пн авг 29, 2011 21:05:02 --

SpBTimes в сообщении #478732 писал(а):

Оцените интегралом

Это как?

[nnosipov]

integral2009 в сообщении #478727 писал(а):

4) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin(n^2)$

Как к такому ряду можно подойти, нет вариантов. С чего начать?)

Попробуйте доказать, что $\sin{(n^2)}$ не имеет предела при $n \to \infty$, это можно сделать элементарно.

[SpBTimes]

4) А если бы вас попросили определить сходимость ряда $\sum\limits_{0}^{\infty} \sin(n)$ вы бы что делали?

-- Пн авг 29, 2011 21:06:26 --

nnosipov
всю интригу сломали.

[integral2009]

Спасибо Вам!

1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos^5(2n)}{\ln(n+1)}$

Ясно про линейную комбинацию, но про интеграл -- не понятно.

2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\Big(\dfrac{\sin n}{n^{1/3}}\Big)$

Ряд знакочередующийся, поэтому нельзя применить сходу $\sin\Big(\dfrac{\sin n}{n^{1/3}}\Big)\sim \dfrac{\sin n}{n^{1/3}}+R_n$

Можно ли так записать?

$R_n=o\Big(\dfrac{1}{n}\Big)$ Ряд из остатков сходится, так как $o

$\sum R_n$ сходится как обобщенный гармонический ряд с $o\Big(\dfrac{1}{n}\Big) \to 0$ при $n\to\infty$

Исходный ряд сходится по Дирихле. Правильно?

3) Сейчас думаю над аргументом.

4) Ясно, подумаю над доказательством.

-- Пн авг 29, 2011 21:36:28 --

3) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{1/4}}\cos{\dfrac{\pi(n^2+1)}{n}}$

Можно ли так сделать?!

$\cos{\dfrac{\pi(n^2+1)}{n}}=\cos{\Big(\pi n+\dfrac{\pi}{n}\Big)}=\cos{\pi n}+\cos\dfrac{\pi}{n}}=(-1)^n+\cos\dfrac{\pi}{n}}$

Получается сумма рядов $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{1/4}}\cos{\dfrac{\pi(n^2+1)}{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^{1/4}}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{5/4}}$

Первый ряд сходится по Лейбницу, а второй как обобщенный гармонический)

[Whitaker]

integral2009 в сообщении #478744 писал(а):

$\cos{\dfrac{\pi(n^2+1)}{n}}=\cos{\Big(\pi n+\dfrac{\pi}{n}\Big)}=\cos{\pi n}+\cos\dfrac{\pi}{n}}=(-1)^n+\cos\dfrac{\pi}{n}}$

Судя по последней формуле у Вас имеет место такое равенство: $\cos(x+y)=\cos{x}+\cos{y}$ ? Просто замечательно.

[SpBTimes]

integral2009 в сообщении #478744 писал(а):

$R_n=o\Big(\dfrac{1}{n}\Big)$ Ряд из остатков сходится

Неужто? Это не так.

[integral2009]

SpBTimes в сообщении #478763 писал(а):

integral2009 в сообщении #478744 писал(а):

$R_n=o\Big(\dfrac{1}{n}\Big)$ Ряд из остатков сходится

Неужто? Это не так.

Разве не сходится условно?

-- Пн авг 29, 2011 21:52:28 --

Whitaker в сообщении #478761 писал(а):

Судя по последней формуле у Вас имеет место такое равенство: $\cos(x+y)=\cos{x}+\cos{y}$ ? Просто замечательно.

Ой, точно, я имел ввиду произведение....

-- Пн авг 29, 2011 21:56:37 --

$\cos{\dfrac{\pi(n^2+1)}{n}}=\cos{\Big(\pi n+\dfrac{\pi}{n}\Big)}=\cos{\pi n}\cdot\cos\dfrac{\pi}{n}}=(-1)^n\cdot\cos\dfrac{\pi}{n}}$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{1/4}}\cos{\dfrac{\pi(n^2+1)}{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n\cdot\cos\dfrac{\pi}{n}}{n^{1/4}}$

По лейбницу этот ряд сходится!

[SpBTimes]

integral2009 в сообщении #478768 писал(а):

Разве не сходится условно?

А с чего бы?

Последний допишите. Идея хорошая!

[integral2009]

SpBTimes в сообщении #478771 писал(а):

Последний допишите. Идея хорошая!

Последний дописал в предыдущем сообщении. Правильно?!

2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\Big(\dfrac{\sin n}{n^{1/3}}\Big)$

$\sin\Big(\dfrac{\sin n}{n^{1/3}}\Big)\sim \dfrac{\sin n}{n^{1/3}}+R_n$

$R_n = \dfrac{\sin^3 n}{n}+ \dfrac{\sin^5 n}{n^{5/3}}+ \dfrac{\sin^7 n}{n^{7/3}}+...+$

$\sum R_n=\sum\dfrac{\sin^3 n}{n}+\sum \dfrac{\sin^5 n}{n^{5/3}}+\sum \dfrac{\sin^7 n}{n^{7/3}}+...+$

Каждый из этих рядов сходится условно по Дирихле. Неправильно?)

[SpBTimes]

integral2009 в сообщении #478779 писал(а):

Правильно?!

Ну а выводы?

integral2009 в сообщении #478779 писал(а):

Каждый из этих рядов сходится условно по Дирихле. Неправильно?)

Для начала. Теорема: если общий член ряда можно представить в виде: $a_n = b_n + c_n$ и ряд из $c_n$ сходится абсолютно, то ряды из $a_n$ и $b_n$ ведут себя одинаково. (Докажите эту теорему в качестве упражнения)

Ваше разложение должно быть таким:
$\sin(\frac{\sin(n)}{n^{1/3}}) = \frac{\sin(n)}{n^{1/3}} - \frac{\sin^3(n)}{3!\cdotn} + O(\frac{\sin^5(n)}{5! \cdot n^{5/3}})$
Ряд из O() сходится абсолютно. Дальше додумайте

[integral2009]

SpBTimes в сообщении #478781 писал(а):

Ну а выводы?

А выводы неправильные? Или вы имеете ввиду, что не расписал выкладки?

SpBTimes в сообщении #478781 писал(а):

Для начала. Теорема: если общий член ряда можно представить в виде: $a_n = b_n + c_n$ и ряд из $c_n$ сходится абсолютно, то ряды из $a_n$ и $b_n$ ведут себя одинаково. (Докажите эту теорему в качестве упражнения)

Если $c_n$ сходится абсолютно, то он равен конкретному числу, а константа не повлияет на сзодимость/расходимость тех двух рядов (да и на чередование знаков не повлияет).

SpBTimes в сообщении #478781 писал(а):

$\sin(\frac{\sin(n)}{n^{1/3}}) = \frac{\sin(n)}{n^{1/3}} - \frac{\sin^3(n)}{3!\cdot n} + O(\frac{\sin^5(n)}{5! \cdot n^{5/3}})$
Ряд из O() сходится абсолютно. Дальше додумайте.

Дальше исходный ряд сходится или расходится одновременно с рядом $\sum_{n=1}^\infty \Big(\frac{\sin(n)}{n^{1/3}} - \frac{\sin^3(n)}{6\cdot n}\Big)=\sum_{n=1}^\infty \Big(\frac{\sin(n)}{n^{1/3}}\Big) -\sum_{n=1}^\infty \Big( \frac{\sin^3(n)}{6\cdot n}\Big)$

Оба ряда сходятся условно по Дирихле, а значит исходный ряд сходится условно! Правильно?

[SpBTimes]

integral2009 в сообщении #478792 писал(а):

Оба ряда сходятся условно по Дирихле, а значит исходный ряд сходится условно! Правильно?

А почему не абсолютно?