интеграл тригонометрия

[vlanik10]

Здравствуйте!
Не могу вычислить интеграл $\[ \int {\frac{{\sin ^2 x\cos x}}{{\sin x + \cos x}}} dx \] $
Пробовал через замену tg(x/2)=t. Также пробовал как-то преобразовать по формуле понижения степени синуса и т.д. Я думаю, что здесь нужно придти к производной $(sinx+cosx)$ и сделать замену переменной. Но пока незнаю как это сделать.

[SpBTimes]

$t = \tg(x)$ сводит интеграл к такому:
$\int \frac{t^2}{(1 + t)(1 + t^2)^2}dt$, который берётся.
Проще способ пока не придумывается.

-- Пн авг 29, 2011 16:42:04 --

Можно ещё, конечно, так.
$\frac{\sin^2(x)\cos(x)}{\sin(x) + \cos(x)} = 1/2\frac{\sin(x)\sin(2x)}{\sin(x) + \cos(x)} = $
$= 1/2 \frac{(\cos(x) - \sin(x))\sin(x)\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1/4\frac{\sin^2(2x)}{\cos(2x)} - $
$- 1/2\frac{\sin^2(x)\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1/4\frac{\sin^2(2x)}{\cos(2x)}- 1/4\tg(2x) + 1/4\sin(2x)$

[ewert]

Ну можно ещё (чтобы не возиться с разложением дробей) $x+\frac{\pi}{4}=t,\ x=t-\frac{\pi}{4}.$ Тогда подынтегральное выражение -- это (если обозначить $\sin t\equiv s,\ \cos t\equiv c$):

$\dfrac12\cdot\dfrac{(s-c)^2(s+c)}{s}=\dfrac12\cdot\dfrac{s^3-s^2c-sc^2+c^3}{s}=\dfrac12\left(s^2-sc-c^2+\dfrac{1-s^2}{s}\cdot c\right).$

Последнее выражение интегрируется уже практически в уме и потом после обратной подстановки сильно упрощается. На выходе получится сколько-то там синусов двух икс плюс сколько-то косинусов двух икс и плюс сколько-то логарифмов синуса плюс косинус.

[vlanik10]

SpBTimes,ewert Большое спасибо!