помогите разобраться с условным экстремумом

[oposum]

Задачка такая: найти наибольшее и наименьшее значение функции $x^2+2y^2+3z^2$ на множестве

$$x^2+y^2+z^2\leqslant 100.$$

Понятно, что наименьшее значение будет $0,$ а наибольшее значение ищется на границе области $x^2+y^2+z^2=100$ и нахождение наибольшего значения сводится к стандартному методу множителей Лагранжа.
А что делать, если функция и условия на область в виде неравенств такие, что проблему поиска минимума\максимума функции в этой области нельзя свести к классическому методу множителей Лагранжа?
С минимумом нашел условия Каруша-Куна-Таккера: если нам надо искать минимум функции $f(x)$ при ограничении $g(x)\leqslant0,$ то составляем функцию Лагранжа
$L(x)=f(x)+\lambda g(x)$ и ищем ее минимум так, чтобы выполнялось условие дополняющей нежесткости и $\lambda\geqslant 0.$
А как быть с поиском максимума? также составляем функцию Лагранжа и ищем ее максимум? а какой знак у $\lambda$ тогда будет?

[ИСН]

Максимум $f(x)$ обычно бывает примерно там же, где минимум $-f(x)$. Минимум находить умеете? Ну вот.

[bot]

oposum в сообщении #478497 писал(а):

А что делать, если функция и условия на область в виде неравенств такие, что проблему поиска минимума\максимума функции в этой области нельзя свести к классическому методу множителей Лагранжа?

Это ещё почему? Показывайте, где возникли затруднения.
Ровно то, что без лямбды очевидно, очень просто и через неё вылезает.

[oposum]

ИСН в сообщении #478512 писал(а):

Максимум $f(x)$ обычно бывает примерно там же, где минимум $-f(x)$.

а с множеством, на котором ищем максимум, что происходит?

bot в сообщении #478525 писал(а):

Это ещё почему? Показывайте, где возникли затруднения.
Ровно то, что без лямбды очевидно, очень просто и через неё вылезает.

ну если область, в которой ищем максимум\минимум, задается не равенством, а неравенством?

[bot]

oposum в сообщении #478566 писал(а):

ну если область, в которой ищем максимум\минимум, задается не равенством, а неравенством?

Как раз задание области неравенствами - обычная вещь, чего не скажешь о равенствах, тут совсем другая терминология. Я догадываюсь, в чём у Вас проблема.

Рассмотрим непрерывную функцию, заданную на компакте, ограниченном некоторыми поверхностями. В Вашем случае - это шар радиуса 10 с центром в нуле. Непрерывная функция на компакте достигает как наименьшего, так и наибольшего значений. Для начала считаем все точки компакта подозрительными - в любой из них может достигнуться наибольшее или наименьшее значение. Если бы могли перебрать все точки области, то проблемы бы не было. Наша цель ограничить список подозреваемых точек. Пусть в некоторой точке достигнуто (для определённости) наименьшее значение. Где она может оказаться? Есть только два варианта - либо эта точка лежит внутри компакта либо она лежит на границе. В первом случае эта точка является, в частности, точкой локального минимума и следовательно удовлетворяет необходимому условию экстремума, а во втором эта точка, в частности, окажется точкой условного экстремума (см. определение условного экстремума) и необходимому условию должна удовлетворять функция Лагранжа.

В данном случае, наименьшее значение очевидно достигается в центре шара (эта точка и из необходимого условия экстремума тоже вылезает), а наибольшему остаётся достигаться только на границе шара, которая задаётся равенством.