Еще ряды

[SpBTimes]

$\ln(e^{2k}) = 2k$
$\ln(e^{2k + 1}) = 2k + 1$
Это два подряд идущих целых числа.

Так вот если взять какое-либо число x между $e^{2k}$ и $e^{2k+1}$, то $[\ln(x)] = 2k$, что есть число чётное, а значит $(-1) \rightarrow (+1)$

[integral2009]

SpBTimes в сообщении #478415 писал(а):

$\ln(e^{2k}) = 2k$
$\ln(e^{2k + 1}) = 2k + 1$
Это два подряд идущих целых числа.

Так вот если взять какое-либо число x между $e^{2k}$ и $e^{2k+1}$, то $[\ln(x)] = 2k$, что есть число чётное, а значит $(-1) \rightarrow (+1)$

(Оффтоп)

Здесь был бред

[SpBTimes]

а я где-то с этим спорил?

[integral2009]

А все понял, спасибо за терпение!! Сейчас разберусь с оценкой)

$|\frac{1}{[e^{2k}] + 1} + \frac{1}{[e^{2k}] + 2} + ... + \frac{1}{[e^{2k + 1}]}|>\frac{2k}{[e^{2k}] }

[SpBTimes]

ну в знаменателе ладно, пусть так, а в числителе откуда 2k?

[integral2009]

SpBTimes в сообщении #478422 писал(а):

ну в знаменателе ладно, пусть так, а в числителе откуда 2k?

В числителе я хотел написать количество суммируемых членов (между $e^{2k}$ и $e^{2k+1}$, но я не знаю -- сколько их...

[SpBTimes]

из знаменателей вытащите эту правду-матку

[integral2009]

SpBTimes в сообщении #478426 писал(а):

из знаменателей вытащите эту правду-матку

Вы имеете ввиду так
$|\frac{1}{[e^{2k}] + 1} + \frac{1}{[e^{2k}] + 2} + ... + \frac{1}{[e^{2k + 1}]}|=\frac{1}{[e^{2k}] }|\frac{1}{e^{-2k} + 1} + \frac{1}{2e^{-2k} + 1} + ... + \frac{1}{[e]}|$

[SpBTimes]

Я имею в виду сосчитать кол-во членов под модулем

[integral2009]

SpBTimes в сообщении #478428 писал(а):

Я имею в виду сосчитать кол-во членов под модулем

Так вот я и писал об этом, что не могу посчитать, ведь это число зависит от $k$. Чем больше $k$, тем больше членов там...

[SpBTimes]

Ну вот сидите и думайте, как считать. А я спать.

[integral2009]

SpBTimes в сообщении #478431 писал(а):

Ну вот сидите и думайте, как считать. А я спать.

Хорошо, спасибо большое, спокойной ночи!

[integral2009]

Ой, это же очевидно) Количество членов между ними равно $[e^{2k+1}]-[e^{2k}]-1$ Оценка
$|\frac{1}{[e^{2k}] + 1} + \frac{1}{[e^{2k}] + 2} + ... + \frac{1}{[e^{2k + 1}]}|<\dfrac{[e^{2k+1}]-[e^{2k}]}{[e^{2k}]}$

$\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{[e^{2k+1}]-[e^{2k}]}{[e^{2k}]}=\lim\limits_{k\to\infty}\Big(\dfrac{[e^{2k}e]}{[e^{2k}]}-1\Big)=?$

А как такой предел сосчитать?

[Whitaker]

Данный ряд расходится.
Вот вам подсказка: Покажите, что общий член данного ряда не стремится к нулю.
Вам уже столько чего сказали, что вы должны эту задачу уже полностью самостоятельно решить.

[ewert]

integral2009 в сообщении #478363 писал(а):

Как так группировка получилась?

Это какая-то подозрительная группировка и не уверен, что она буквально верна; во всяком случае, не нужна она точно. Нужно вот что. Очевидно, что числитель знакопостоянен (т.е. тождественно равен или плюс единичке, или минус единичке) на любом участке вида $n\in[e^k+2;e^{k+1}-2]$, где $k$ -- целое, а двойки добавлены для надёжности, чтобы не возиться с нюансами. Пусть для определённости $k$ чётное (хоть это и непринципиально), т.е. рассмотрим участки с гарантированной положительностью членов. На каждом таком участке сумма членов оценивается снизу через соответствующий интеграл, который считается явно и на выходе стремится к единице при $k\to\infty$. Т.е. не стремится к нулю, т.е. нарушается условие критерия Коши.