сумма обратных к числам Фибоначчи

[Slavik]

Вроде бы не сложная задача:

найти сумму ряда

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{u_n}$$

где $u_n$ -- $n$-й член последовательности Фибоначчи.
То что ряд сходится показать легко, но как найти сумму?

[cepesh]

http://encyclopedia.lockergnome.com/s/b ... m_constant

Цитата:

This value has been proven irrational by Andrй-Jeannin, R. No closed form is currently known.

[Max.renny]

А как доказать что ряд сходится?

[Sonic86]

Max.renny писал(а):

А как доказать что ряд сходится?

$n$-й член эквивалентен экспоненте.
Могли бы признак Даламбера попробовать для начала

[ewert]

Max.renny в сообщении #435123 писал(а):

А как доказать что ряд сходится?

Погуглите на "числа Фибоначчи", хотя бы до Википедии -- там обязательно будет формула (постоянно забываю как по фамилии, но какая разница), представляющая эту последовательность как сумму двух геометрических прогрессий с разными знаменателями.

[nnosipov]

ewert в сообщении #435433 писал(а):

Погуглите на "числа Фибоначчи", хотя бы до Википедии -- там обязательно будет формула (постоянно забываю как по фамилии, но какая разница), представляющая эту последовательность как сумму двух геометрических прогрессий с разными знаменателями.

Формула Бине.

[sergei1961]

Это же решение разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Поэтому формулу Бине можно стандартным способом вывести через корни характеристического уравнения.
А ссылка выше у меня не отобразилась.