Предположим, что данное множество не содержит кратных точек. Раскрасим точки из
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
в красный цвет. Неокрашенные точки, кратные какому либо числу из
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, покрасим в синий цвет. Очевидно, что если
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
- синяя точка, то точка
![$kx$ $kx$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/8/5e8f8cd1414eb4e2751ba138ed3a365e82.png)
, для любого натурального
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
, также синяя.
Рассмотрим произвольный отрезок
![$[aа, a+999]$ $[aа, a+999]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/6/ab651f05591b2d5143e11ca8efcc817d82.png)
. По условию, на нем есть одна красная точка
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. Пусть на нем также
![$n $ $n $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/c/1fc71320b7b7b14347d4e798faa898a482.png)
синих точек
![$x_1, x_2, \dots, x_n$ $x_1, x_2, \dots, x_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/1/d01ff0e30ac304d3cff5b5857f09b87882.png)
. Сдвинем отрезок на величину
![$x_1x_2\dots x_nx$ $x_1x_2\dots x_nx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/a/7ba4ab6f6f245175d331ff312649d61982.png)
. На новом отрезке также должна быть красная точка, а в синий цвет уже будет окрашено, как минимум,
![$n+1$ $n+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/1/3f18d8f60c110e865571bba5ba67dcc682.png)
точек, так как синие точки перейдут в синие, а красная в синюю. Повторяя эту процедуру достаточное количество раз (не более 1000) получим отрезок, полностью окрашенный в синий цвет.