Вложенные суммы в рядах

[integral2009]

Исследовать на сходимость ряды

1)

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}{\ln(n+1)}\cos(3n)$$

Попытки

При $n\to \infty$ ряд $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac 1 k$ расходится Следует ли из
этого расходимость всего ряда 1)? Как тут подобраться к решению?

2)

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\Bigg( \dfrac{\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k!}}{\sqrt[5] n}\sin(2n) \Bigg)$$

При $n\to \infty$ ряд $\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k!}=e$

Но как это модно использовать? Если заменить на экспоненту ту сумму, то признаку Абеля ряд сходится, но как тут нужно оформить корректно решение?

[SpBTimes]

1) Но там же частичная сумма, так что не следует.
Известно (да и элементарно доказывается), что последовательность
$x_{n} = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n)$ сходится. Если точнее, то:
$1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} = \ln(n) + C + \varepsilon_{n}$
C - постоянная Эйлера вроде, $\varepsilon_{n}\to0 n \to \infty$

Однако о сходимости вашего ряда говорить не приходится, необходимый признак хромает

-- Чт авг 25, 2011 00:39:58 --

2) Для Дирихле достаточно доказать монотонно стремление дроби к нулю, ограниченность частичной суммы стандартна. Вы это не можете сделать?

[xmaister]

integral2009 в сообщении #477524 писал(а):

но как тут нужно оформить корректно решение?

Да как обычно. Признак Абеля для ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n$
$a_n=\frac1{\sqrt[5]{n}}, b_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac1{k!}$

[integral2009]

Спасибо, со втором понял!! А вот с первым -- нет(

1)

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}{\ln(n+1)}\cos(3n)$$

Необходимый признак записал:

$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}{\ln(n+1)}$

Но не понятно -- какие преобразования делать дальше... или и получается тот самый гармонический ряд в числителе (ведь тут уже мы рассматриваем предел, когда n стремится к бесконечности)?

-- Чт авг 25, 2011 01:09:14 --

И еще, подскажите, пожалуйста, в этих двух примерах на исследование сходимости не помог признак Коши и Даламбера, как быть?

1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sqrt[3]{n+1}}{\sqrt{n}+1}$

2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+1}{n^2-\ln(n)}$

[xmaister]

Предел считать. Вам SpBTimes
уже написал, что $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac1{k}-\ln n$ сходится.

[SpBTimes]

из новых двух:
1) признак сравнения. Или выделите основную степень n
2) аналогично

-- Чт авг 25, 2011 01:18:59 --

integral2009 в сообщении #477535 писал(а):

(ведь тут уже мы рассматриваем предел, когда n стремится к бесконечности)?

Вот тут полегче, обозначения то различны. То n и это никак не связаны

[integral2009]

xmaister в сообщении #477536 писал(а):

Предел считать. Вам SpBTimes
уже написал, что $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac1{k}-\ln n$ сходится.

Я просто не понял это) Откуда же это берется и как доказывается?

А использовать это можно просто подставив вместо ряда $\ln(n)+C+\varepsilon_n$?

[SpBTimes]

integral2009 в сообщении #477538 писал(а):

А использовать это можно просто подставив вместо ряда $\ln(n)+C+\epsilon_n$?

да

integral2009 в сообщении #477538 писал(а):

Откуда же это берется и как доказывается?

Доказать сходимость последовательности, зная к чему она сходится, не большая проблема

[integral2009]

Доказать можно по интегральному признаку?

$$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}{\ln(n+1)}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\ln(n)+C+\varepsilon_n}{\ln(n+1)}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\ln(n)}{\ln(n+1)}+\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{C+\varepsilon_n}{\ln(n+1)}=1+0\ne 0$$

Необходимый признак не выполнен, ряд расходится..Правильно?

[SpBTimes]

integral2009 в сообщении #477540 писал(а):

Доказать можно по интегральному признаку?

что вы хотите доказать интегральным признаком?


А ряд расходится, да

[integral2009]

Отлично, спасибо!

Я имел ввиду, что ряд $\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac1{k}$ сходится, когда сходится интеграл $\int\limits_1^A \dfrac{dx}{x}=\ln A$

[SpBTimes]

Ряд, что вы написали, не сходится никогда. И его расходимость можно, но не нужно связывать с интегральным признаком. Я вас прошу применить знания из начала первого семестра матанализа: Доказать, что последовательность сходится. Предел её вам известен.
Вспомните Штольца, критерий Коши. Да всё, что душе угодно

[integral2009]

SpBTimes в сообщении #477544 писал(а):

Ряд, что вы написали, не сходится никогда. И его расходимость можно, но не нужно связывать с интегральным признаком. Я вас прошу применить знания из начала первого семестра матанализа: Доказать, что последовательность сходится. Предел её вам известен.
Вспомните Штольца, критерий Коши. Да всё, что душе угодно

Не понимаю, последовательность $\Big[\dfrac{1}n\Big]_{n=1}^{\infty}$? Она же сходится к нулю, это доказать?

[SpBTimes]

нет, вам надо доказать, что последовательность:
$1+ \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} - \ln{n}$ сходится.
У вас последовательность частичных сумм, ряд же

[ewert]

SpBTimes в сообщении #477547 писал(а):

нет, вам надо доказать, что последовательность:
$1+ \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} - \ln{n}$ сходится.

Да зачем по воробьям именно из пушек-то? Нужна лишь оценка снизу:

$\sum\limits_{k=1}^n\frac1k>\int\limits_1^{n+1}\frac{dx}{x}=\ln(n+1).$

Ну и, конечно, нестремление косинуса к нулю (что, кстати, формально существенно сложнее, хотя и фактически очевидно).