Непрерывная супергармоническая функция

[Gortaur]

Пусть задан Марковский процесс в дискретном времени $X$ на множестве $\mathbb R$, его ядро имеет плотность $K(x,dy) = \xi(x,y)dy$ и ему соответствует данный оператор

$$ \mathcal Pf(x) = \int\limits_{\mathbb R}f(y)\xi(x,y)\,dy. $$

Здесь $\xi$ непрерывна и положительна всюду, строго.

Функция $f$ называется супергармонической, если if $\mathcal Pf\leq f$, что эквивалентно утверждению, что $f(X)$ - супермартингал. Есть ли примеры ограниченных непрерывных супергармонических функций, отличных от констант?

[Vince Diesel]

Вообще-то есть стандартное определение супергармоничности. Из него него в одномерном случае вытекает, что график супергармонической функции будет выпуклым вверх. А ограниченные функции с таким свойством это только константы. Приведенное определение эквивалентно стандартному?

[Gortaur]

Vince Diesel
Ага, когда время непрерывное и процесс является броуновским движением. В стохастике понятие супергармонической обобщается на произвольные операторы. Мне вот и интересно, всегда ли верна теорема Лиувилля для них. Точнее, ясно что не всегда - но мне интересны примеры о которых я написал.

[Vince Diesel]

А константы всегда будут супергармоническими в этом смысле?

[Gortaur]

Если процесс stochastically complete - то есть имеет распределение в любой момент времени, то константы всегда гармонические. Про то же броуновское движение пример, там условие супергармоничности идет как

$$ \int\limits_\mathbb{R}f(y)\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\mathrm e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}}\,dt\leq f(x) $$

или для два раза дифференцируемых

$$ \Delta f\leq 0. $$

[Gortaur]

Словом, я искал аналоги теоремы Лиувилля для данных операторов - и в итоге есть контрпример. Т.к. ядро получается сильно непрерывным, достаточно взять любую ограниченную супергармоническую функцию с разрывами и применить к ней $\mathcal P$. На выходе получится непрерывная и ограниченная супергармоническая функция отличная от константы.