векторное уравнение

[petr11]

есть следующее уравнение $\vec{\nabla}(y)-y\frac{2 }{c+\vec{a}^2}(\vec{\nabla}(\frac{\vec{a}^2}{2})+\vec{a}(\vec{x}\vec{a}))=0$ здесь $y$ скалярная функция которую нужно найти $\nabla:(\frac{\partial }{\partial x_1},\frac{\partial }{\partial x_2},\frac{\partial }{\partial x_3} )$ $\vec{a}(a_1(x_1,x_2,x_3),a_2(x_1,x_2,x_3),a_3(x_1,x_2,x_3))$ когда нет слагаемого $\vec{a}(\vec{x}\vec{a})$ решение можно найти достаточно просто $\frac{dy}{y}=\int\frac{2}{c+\overrightarrow{a}^2}a_i\frac{\partial a_i}{\partial \gamma_i}d \gamma_i$=\ln(c+a^2) и $y=c+a^2$, можите подсказать, пожалуйста путь как можно было бы решить это уравнение со слагаемым $\vec{a}(\vec{x}\vec{a})$

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим векторные поля

$$v_k(x)=(v_k^1,\ldots,v^m_k)(x),\quad k=1,\ldots, q,\quad x=(x^1,\ldots, x^m)$$

и задачу Коши

$$\frac{\partial x^n}{\partial t^j}=v^n_j(x(t)),\quad x(0)=\hat x,\quad t=(t^1,\ldots, t^q)$$

Эта задача разрешима при любых начальных данных iff $[v_i,v_j]=0$ при этом ее решение имеет вид

$$x(t)=g^{t^1}_{v_1}\circ\ldots\circ g^{t^q}_{v_q}(\hat x)$$

(и других решений нет)
$g$ -- фазовые потоки соответствующих векторных полей
В Вашем случае векторные поля зависят еще и от $t$ , но можно свести одно к другому.

[petr11]

Можно объяснить поподробнее или на каком нибудь простом примере и если еще можно назвать литературу где описано как работать с такого рода векторными уравнениями.

[petr11]

А можно поступить следующим образом: записать это уравнение в проекциях на оси $x_1,x_2,x_3$ затем первое умножить на $dx_1$ второе на $dx_2$ третье на $dx_3$ после все 3 уравнения сложить тогда образуется $dy$ затем проинтегрировать это уравнение.

[petr11]

получилось следующее $\frac{d y}{y}=\frac{2 \vec{a}}{c+a^2}(\frac{\partial \vec{a}}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial \vec{a}}{\partial x_2}dx_2+\frac{\partial \vec{a}}{\partial x_3}dx_3)+\frac{2 }{c+a^2}(\vec{x}\vec{a})(a_1dx_1+a_2dx_2+a_3dx_3) =\frac{2 \vec{a}}{c+a^2}da+\frac{2 }{c+a^2}(\vec{x}\vec{a})(a_1dx_1+a_2dx_2+a_3dx_3)$ после интегрирования $\ln(y)=\ln(c+a^2)+\int\frac{2 }{c+a^2}(\vec{x}\vec{a})(a_1dx_1+a_2dx_2+a_3dx_3) $ где под $\int\frac{2 }{c+a^2}(\vec{x}\vec{a})(a_1dx_1+a_2dx_2+a_3dx_3)$ и не ясно что понимать и как с этим работать.

[Александр Т.]

petr11 в сообщении #476403 писал(а):

есть следующее уравнение $\vec{\nabla}(y)-y\frac{2 }{c+\vec{a}^2}(\vec{\nabla}(\frac{\vec{a}^2}{2})+\vec{a}(\vec{x}\vec{a}))=0$ здесь $y$ скалярная функция которую нужно найти $\nabla:(\frac{\partial }{\partial x_1},\frac{\partial }{\partial x_2},\frac{\partial }{\partial x_3} )$ $\vec{a}(a_1(x_1,x_2,x_3),a_2(x_1,x_2,x_3),a_3(x_1,x_2,x_3))$ когда нет слагаемого $\vec{a}(\vec{x}\vec{a})$ решение можно найти достаточно просто $\frac{dy}{y}=\int\frac{2}{c+\overrightarrow{a}^2}a_i\frac{\partial a_i}{\partial \gamma_i}d \gamma_i$=\ln(c+a^2) и $y=c+a^2$, можите подсказать, пожалуйста путь как можно было бы решить это уравнение со слагаемым $\vec{a}(\vec{x}\vec{a})$

Подстановкой

$$ z = \ln|y| - \ln|c+a^2| $$

уравнение приводится к виду

$$ \nabla z = \dfrac{2 \vec{a}\ \vec{x}\cdot\vec{a}}{c+a^2} . $$

Это уравнение имеет решение лишь только для таких $\vec{a}(\vec{x})$, для которых

$$ \nabla \times \dfrac{2 \vec{a}\ \vec{x}\cdot\vec{a}}{c+a^2} = 0 . $$

[Александр Т.]

У меня получилось, что условие

$$ \nabla \times \dfrac{2 \vec{a}\ \vec{x}\cdot\vec{a}}{c+a^2} = 0 $$

выполняется в частности тогда, когда $\nabla \times\vec a(\vec x) = 0$.

Если это условие выполненено, то решение уравнения

$$ \nabla z = \dfrac{2 \vec{a}\ \vec{x}\cdot\vec{a}}{c+a^2} $$

имеет вид

$$ z(\vec x) = - \dfrac{1}{4\pi} \int \dfrac{\rho(\vec x\,')}{|\vec x - \vec x\,'|} \operatorname{d} V(\vec x\,') + C , $$

где интегрирование проводится по всему пространству,

$$ \rho(\vec x) = \nabla\cdot \dfrac{2 \vec{a}\ \vec{x}\cdot\vec{a}}{c+a^2} $$

и $C$ — произвольная постоянная.

[Утундрий]

petr11, а вам не кажется, что вы только и делаете, что откусываете больше чем в состоянии прожевать?