Сумма двух логистистических распеределений

[Евгений Машеров]

В общем, сумма логистических распределений имеет эксцесс $\frac 6 {5n}$, где n - число слагаемых в сумме (эксцесс понимается, как отношение четвёртого семиинварианта к квадрату второго, для нормального равен нулю, для "тяжёлых хвостов" положителен, для "коротких хвостов" отрицателен; некоторые авторы определяют его, как отношение четвёртого центрального момента к квадрату второго, то есть дисперсии, в этом случае он больше предыдущего определения на 3, и вычитанием 4 приводится к нему, что и названо kurtosis excess).
Хотя эксцесс не исчерпывает всех характеристик распределения, часто для упрощённой проверки нормальности ограничиваются асимметрией (равной здесь нулю) и эксцессом. К примеру, можно поставить задачу моделирования цен биржевых активов через n дней, полагая, что доходности (yields) имеют распределение не нормальное, а более тяжелохвостое (что соответствует реальности) и выбрав в качестве него логистическое.
Что до сравнений - то, опять же в качестве грубой ориентировки можно воспользоваться приближённой оценкой стандартного отклонения оценки эксцесса
$\sqrt{\frac {24} N}$
где N - это число наблюдений в выборке, по которой вычислен эксцесс. Если выборочный эксцесс меньше этой величины - то нет оснований отрицать нормальность (что, разумеется не есть доказательство нормальности)

[alxkolm]

Спасибо, Евгений.

Я остановился на том, что для моих целей, суммы более 15 логистических распределений можно заменять нормальное распределение.

Однако решил пока этого не делать. т.к. пользуюсь уровнением pdf полученым с помощью апроксимации Эджворта. Благо Mathematica их резво считает.

-- Ср авг 24, 2011 11:36:19 --

И да, я заинтересовался этим как раз для моделирования котировок пары eur/usd на forex.

[Евгений Машеров]

А сразу Эджвортом? С эмпирически подогнанными к выборке параметрами?

(Оффтоп)

Тут, правда, одна опасность "экономической прикладной математики".
В естественных науках выявление закономерности к её нарушению не приводит.
В технических - может быть даже некоторое усиление (в том смысле, что происходит стандартизация.
В экономических использование выявленной закономерности зачастую её "убивает". Особенно касательно трейдинга.

[alxkolm]

Делаю так:
(в вместо термина семиинварианты использую термин кумулянты, что суть одно)
1. Оцениваю параметры логистического распределения на эмпирических данных.


2. Вычисляю кумулянты полученного распределения.
3. Используя свойство кумулянтов, что при сложении случайных величин их кумулянты складываются, наивно складываю кумулянты. Т.е. просто умножаю каждый кумулянт на количество слагаемых $n$.

4. По полученным кумулянтам суммы строю ряд Эджворта, который аппроксимирует pdf.

Полностью согласен с вашим оффтопом.