Поверхностные интегралы

[Nooob]

Возникло тут пара глупых вопросов по сабжу.
1. Допустим, надо посчитать
$\int_{S}xydS $
по прямоугольнику $0\le x \le 1, 0\le y \le 2$
Ответ у задачи 1. И мне вот непонятно, один чего? То есть что за объем мы посчитали таким образом?

2. Если есть
$\int_{0}^{1}dy \int_{y}^{1}\frac{\sin{x}}{x}dx$
Равносильно ли это
$ \int_{0}^{1}dx \int_{x}^{1}\frac{\sin{x}}{x}dy $
Тут вроде как была попытка поменять пределы интегрирования для упрощения интеграла. Хотя намного проще вроде не стало.

Upd. В полярные, наверное, надо было. Но все равно проверьте правомерность утверждения, плиз)

3. С переходом к другому основанию вообще непонятно пока. Почему,
например, при вычислении Гауссова интеграла мы интегрируем по углу от 0
до $2\pi$, ведь $y = \rho \sin\varphi$, то есть $y$ будет принимать отрицательные значения, что странно..

[Mysterious Light]

$\int_0^1\int_0^2xydxdy\;=\;\int_0^1xdx\int_0^2ydy\;=\; \frac 12\cdot 2=1$

$\int_{0}^{1}dy \int_{y}^{1}\frac{\sin{x}}{x}dx = \iint_{\small{0<y<1,y<x<1}}\frac{\sin{x}}{x}dxdy = $$ \iint_{\small{\{(x,y)|0<x<y<1\}}}\frac{\sin{x}}{x}dxdy = \iint_{\small{0<x<1,0<y<x}}\frac{\sin{x}}{x}dxdy$
Вроде так.
Хотя можно и так:$\int_{0}^{1}dy \int_{y}^{1}\frac{\sin{x}}{x}dx=\int_{0}^{1}dy \int_{y}^{1}\frac{\sin{y}}{y}dx$
Ваша замена пределов мне кажется необосновоной. И вроде не справедливой
Фигура z=xy

[arseniiv]

Nooob в сообщении #477285 писал(а):

И мне вот непонятно, один чего? То есть что за объем мы посчитали таким образом?

Это получается объём тела, которое ограничено сверху гиперболическим параболоидом $z = xy$ (если правильно понял, вам был интересен именно он?), снизу плоскостью $z = 0$ и «по бокам» условиями на поверхность интегрирования $0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 2$.

P. S. А, вот и график параболоида принесли! Хотя, наверно, не в лучшем ракурсе.

[Nooob]

Ок, спасибо, с объемом понятно, до меня как-то не доходило, что $z = xy$ вполне конкретная фигура в пространстве.

А вот с пределами интегрирования не очень. Во- первых, у Вас, наверное, опечатка, Mysterious Light

Mysterious Light в сообщении #477290 писал(а):

$ \iint_{\small{\{(x,y)|0<x<y<1\}}}\frac{\sin{x}}{x}dxdy$

$y<x$
И вот тут еще:

Mysterious Light в сообщении #477290 писал(а):

Хотя можно и так:$\int_{0}^{1}dy \int_{y}^{1}\frac{\sin{x}}{x}dx=\int_{0}^{1}dy \int_{y}^{1}\frac{\sin{y}}{y}dx$

Во-вторых, мне непонятен алгоритм действий.
(Btw, у меня ошибка там, да. Неправильная замена)

[arseniiv]

Nooob, всё равно $\frac{\sin x}x$ не интегрируется в элементарных (получается т. н. интегральный синус $\operatorname{Si} x$).

Nooob в сообщении #477285 писал(а):

2. Если есть
$\int_{0}^{1}dy \int_{y}^{1}\frac{\sin{x}}{x}dx$
Равносильно ли это
$ \int_{0}^{1}dx \int_{x}^{1}\frac{\sin{x}}{x}dy $
Тут вроде как была попытка поменять пределы интегрирования для упрощения интеграла. Хотя намного проще вроде не стало.

Сегодня начертил и проверил. Правильная замена будет $ \int_{0}^{1}dx \int_{0}^{x}\frac{\sin{x}}{x} \, dy $. Хотя, конечно, так или иначе, но интегрального синуса не избежать.

-- Ср авг 24, 2011 12:36:46 --

Mysterious Light в сообщении #477290 писал(а):

Хотя можно и так:$\int_{0}^{1}dy \int_{y}^{1}\frac{\sin{x}}{x}dx=\int_{0}^{1}dy \int_{y}^{1}\frac{\sin{y}}{y}dx$

Почему вы так посчитали? Нельзя так заменять.

[ewert]

Nooob в сообщении #477285 писал(а):

Ответ у задачи 1. И мне вот непонятно, один чего?

Один того. Просто один -- и точка. Никакие объёмы тут, если говорить формально, вовсе не при чём.

Nooob в сообщении #477285 писал(а):

2. Если есть
$\int_{0}^{1}dy \int_{y}^{1}\frac{\sin{x}}{x}dx$
Равносильно ли это
$ \int_{0}^{1}dx \int_{x}^{1}\frac{\sin{x}}{x}dy $

$\int\limits_{0}^{1}dy \int\limits_{y}^{1}dx\equiv\int\limits_{0}^{1}dx \int\limits_{0}^{x}dy.$

Надо просто тупо, стандартно, как в школе учат, нарисовать на бумажке треугольничек, по которому проводится интегрирование, и тупо расставить пределы интегрирования в обратном порядке (следуя рисунку). После чего интегральные синусы действительно тупо исчезают.

[arseniiv]

Как?

-- Ср авг 24, 2011 13:19:53 --

Интегрировал в неправильном порядке и получил $x \operatorname{Si}1$. А в правильном $1 - \cos 1$. Или даже это неверно?

[ewert]

Последнее, естественно, верно. А первое -- естественно, нет: там ведь интегральный синус, полученный после первого интегрирования, надо ещё раз проинтегрировать.

[Nooob]

ewert в сообщении #477369 писал(а):

Один того. Просто один -- и точка. Никакие объёмы тут, если говорить формально, вовсе не при чём.

Один того - эт не очень понятно. Разве arseniiv не прав насчет объема, ограниченного $xy$ и заданными границами?

ewert в сообщении #477369 писал(а):

Надо просто тупо, стандартно, как в школе учат, нарисовать на бумажке треугольничек, по которому проводится интегрирование, и тупо расставить пределы интегрирования в обратном порядке (следуя рисунку). После чего интегральные синусы действительно тупо исчезают.

Да-да, это уже понятно, у меня там ошибка. Просто хотелось узнать, есть ли другие способы. Mysterious light вроде как-то по-другому действовал. Впрочем, это не очень неважно :)

[arseniiv]

ewert имел в виду, что та $1$ не является физической величиной типа длины, площади или объёма. Если интеграл понимать как полученный из соответствующей формулы для объёма какого-нибудь тела, получится то тело, которое описано. А можно этот интеграл понимать по-другому, и «смысл» результата будет от этого меняться.

[Nooob]

И какой же смысл у единицы, если она не является физической величиной?

[arseniiv]

Ну вот как результат решения какой задачи вы рассматриваете её, таков и смысл. Интеграл для вычисления объёма — единица объёма. Интеграл для вычисления массы — единица массы. И т. п.!