Дивергенция, ротор

[Nooob]

Извините, что я опять тут с матаном..
Но никак не получается:
$\overline{\nabla}\times (\overline{\omega}\times \overline{r}) = \overline{\omega}(\overline{\nabla}\cdot\overline{r}) - \overline{r}(\overline{\nabla}\cdot\overline{\omega}) = 3\omega$
Хотя должно быть $2\omega$.
А всё потому что
$\overline{r}(\overline{\nabla}\cdot\overline{\omega}) = 0$, ибо $\overline\omega$ в задаче от $\overline{r}$ не зависит

[ShMaxG]

Если некоторое правило (формула) справедливо для векторов, то это не значит, что формальная подстановка операторов приведет к правильному ответу. И Ваша задача -- тому пример. Если там есть операторы, то правило бац-минус-цаб в общем случае не выполняется.

$$\[\nabla \times \left( {{\mathbf{\omega }} \times {\mathbf{r}}} \right) = \left[ {\nabla \cdot {\mathbf{r}} + {\mathbf{r}} \cdot \nabla } \right]{\mathbf{\omega }} - \left[ {\nabla \cdot {\mathbf{\omega }} + {\mathbf{\omega }} \cdot \nabla } \right]{\mathbf{r}} = 2{\mathbf{\omega }}\]$$

[ewert]

ShMaxG в сообщении #476192 писал(а):

Если там есть операторы, то правило бац-минус-цаб в общем случае не выполняется.

Вполне выполняется, только надо аккуратно записывать:

$\vec\nabla\times (\vec\omega\times\vec{r})=\vec\omega(\vec\nabla\cdot\vec{r})-(\vec\omega\cdot\vec\nabla)\vec{r}$

(поскольку в последнем слагаемом оператор набла действует именно на эр, а не на омегу и поэтому его следует располагать перед эр). И тогда это последнее слагаемое есть

$-(\omega_x\frac{\partial}{\partial x}+\omega_y\frac{\partial}{\partial y}+\omega_z\frac{\partial}{\partial z})(x\vec i+y\vec j+z\vec k)=-\omega_x\vec i-\omega_y\vec j-\omega_z\vec k=-\vec\omega.$

[ShMaxG]

ewert в сообщении #476239 писал(а):

Вполне выполняется, только надо аккуратно записывать:
$\vec\nabla\times (\vec\omega\times\vec{r})=\vec\omega(\vec\nabla\cdot\vec{r})-(\vec\omega\cdot\vec\nabla)\vec{r}$

А где еще 2 слагаемых?

[ewert]

ShMaxG в сообщении #476244 писал(а):

А где еще 2 слагаемых?

Дык омега ж по условию постоянна.

[ShMaxG]

А я специально оговорил в самом начале:

ShMaxG в сообщении #476192 писал(а):

Если там есть операторы, то правило бац-минус-цаб в общем случае не выполняется.

Кстати, если омега не зависит от эр, то получим скорее не бац-минус-цаб, а бац-минус-абц.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #476250 писал(а):

Если там есть операторы, то правило бац-минус-цаб в общем случае не выполняется.

Выполняется-выполняется, нужна лишь аккуратность в записи. Вы её, кстати, не проявили; надо было примерно так:

$\vec\nabla\times (\vec\omega\times\vec{r})=\dot{\vec\omega}(\vec\nabla\cdot\vec{r})+\vec\omega(\vec\nabla\cdot\dot{\vec{r}})-\dot{\vec{r}}(\vec\nabla\cdot\vec\omega)-\vec{r}(\vec\nabla\cdot\dot{\vec\omega})\equiv$

$\equiv(\vec{r}\cdot\vec\nabla)\vec\omega+\vec\omega(\vec\nabla\cdot\vec{r})-(\vec\omega\cdot\vec\nabla)\vec{r}-\vec{r}(\vec\nabla\cdot\vec\omega).$

(Оффтоп)

И, кстати, правильно говорить не "бац минус цаб", а "бац минус цап".

[Утундрий]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #476256 писал(а):

И, кстати, правильно говорить не "бац минус цаб", а "бац минус цап".

Бац минус фигура цапф?

[Nooob]

ewert в сообщении #476239 писал(а):

Вполне выполняется, только надо аккуратно записывать:

$\vec\nabla\times (\vec\omega\times\vec{r})=\vec\omega(\vec\nabla\cdot\vec{r})-(\vec\omega\cdot\vec\nabla)\vec{r}$

Извините, ewert, но я не понимаю, отчего у Вас
$-(\vec\omega\cdot\vec\nabla)\vec{r}$
Ведь это не ЦАБ..

-- 21.08.2011, 18:56 --

Если не сложно, поясните эту (bac-cab) формулу для операторов. Что-то нигде не могу найти.

-- 21.08.2011, 19:00 --

(Оффтоп)

И ещё: физическии смысл ротора дивергенции никто не может объяснить? :)

[ShMaxG]

ewert в сообщении #476256 писал(а):

Выполняется-выполняется, нужна лишь аккуратность в записи.

Ну откуда выполнение может взяться, если выражение бац-минус-цап подразумевает 2 слагаемых, а на самом деле их 4? В общем случае опять же.

ewert в сообщении #476256 писал(а):

Вы её, кстати, не проявили; надо было примерно так:

То же самое, что и я написал, только Вы различаете $\[{\mathbf{\omega }}\left( {\nabla \cdot {\mathbf{r}}} \right)\] $ и $ \[\left( {\nabla \cdot {\mathbf{r}}} \right){\mathbf{\omega }}\]$, а я нет, ибо под последней записью более, чем естественно подразумевать умножение скалярной функции на вектор (что конечно равно произведению того вектора на ту скалярную функцию).

Nooob в сообщении #476801 писал(а):

физическии смысл ротора дивергенции никто не может объяснить? :)

Дивергенция вектора -- скаляр. Ротор берется только от вектора. Ротора дивергенции не бывает.

Nooob в сообщении #476801 писал(а):

Если не сложно, поясните эту (bac-cab) формулу для операторов. Что-то нигде не могу найти.

Попробуйте ее сами вывести, это не сложно, учитывая, что омега от эр не зависит.

[Nooob]

ShMaxG
Извините, ротор градиента имелось в виду

-- 21.08.2011, 20:25 --

ShMaxG в сообщении #476818 писал(а):

Попробуйте ее сами вывести, это не сложно, учитывая, что омега от эр не зависит.

Ну тем, кто с физтеха не сложно, да :)
Ладно, подумаю исчо..

[ShMaxG]

Nooob в сообщении #476820 писал(а):

ротор градиента имелось в виду

Ну сам по себе ротор векторного поля говорит о наличии завихрений в поле. Если векторное поле потенциально, то его можно представить как градиент некоторой скалярной функции. А равенство нулю ротора градиента говорит о том, что потенциальное поле не может содержать вихри. Ну как-то так.

Nooob в сообщении #476820 писал(а):

Ладно, подумаю исчо..

Расписывайте все в известных терминах. Например, введите компоненты омеги, компоненты радиус-вектора... перемножьте их векторно, умеете? А теперь к получившемуся результату примените ротор, в терминах частных производных. Все там причешите и получите свои 2 омеги как заказывали.
Для доказательства той формулы в общем случае у Вас уже не омега и эр, а просто какие-то векторы (точнее -- векторные поля). Повторите для них то же самое, что и в Вашем частном случае. И получившийся результат причешите до нужного -- того, которого я Вам указал в своем первом сообщении.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #476818 писал(а):

То же самое, что и я написал, только Вы различаете

У Вас там вот в чём была проблема. Вы писали наблу когда перед одним сомножителем (и тогда всё ясно), а когда перед двумя (и тогда всё выходило как минимум двусмысленно, а как максимум -- просто неверно).

[ShMaxG]

Аа.. ну в скобочки надо было взять наверно... Мне видимо сначала показалось это ловлей блох, ведь и так понятно, зато сгруппировано все.

[ewert]

Nooob в сообщении #476801 писал(а):

ewert в сообщении #476239 писал(а):

$\vec\nabla\times (\vec\omega\times\vec{r})=\vec\omega(\vec\nabla\cdot\vec{r})-(\vec\omega\cdot\vec\nabla)\vec{r}$

Извините, ewert, но я не понимаю, отчего у Вас
$-(\vec\omega\cdot\vec\nabla)\vec{r}$

Понимаете, $\vec\nabla\times (\vec\omega\times\vec{r})$ -- это, безусловно, $\vec\omega(\vec\nabla\cdot\vec{r})-\vec{r}(\vec\nabla\cdot\vec\omega)$ (вот как раз по формуле "бац минус цап"). Проблема лишь в том, что в каждом из слагаемых дифференциальный оператор "набла" соседствует с двумя сомножителями (вообще говоря, переменными) и, следовательно, каждое из этих слагаемых должно раздваиваться -- согласно правилу дифференцирования произведения. Вообще говоря. Но в данном случае, поскольку омега постоянна -- раздвоения не произойдёт. Однако тут возникает уже другая проблема. Если первое слагаемое при этом выглядит вполне благопристойно, то второе -- совершенно неприлично (множитель, подвергаемый дифференцированию, стоит зачем-то не после, а перед оператором дифференцирования). Ну так надо просто-напросто чисто формально, согласно сугубо алгебраическим правилам, переставить эти формальные как бы в некотором смысле сомножители в разумном порядке (так, чтобы постоянный сомножитель оказался перед наблой, переменный же после); что я сделал, всего-навсего.