2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тождество [Комбинаторика]
Сообщение21.08.2011, 11:11 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Здравствуйте!
Надо доказать следующее тождество:
$C_{n+r-1}^{r}-C_{n}^{1}C_{n+r-3}^{r-2}+C_{n}^{2}C_{n+r-5}^{r-4}-....=C_{n}^{r}$.
Есть такая идея у меня, но хотелось бы кое-что спросить.
Есть $n$ различных элементов $a_1, a_2, ....a_n$.
Воспользуемся формулой включений и исключений.
$N(\bar{a}_1\bar{a}_2....\bar{a}_n)=N-N(a_1)-...N(a_n)+N(a_1a_2)+...+N(a_{n-1}a_n)+...+(-1)^nN(a_1a_2...a_n)$,
где:$N(\bar{a}_1\bar{a}_2....\bar{a}_n)$-количество сочетаний длины $r$, где элементы $a_1, a_2, ....a_n$ встречаются только по одному разу. Очевидно, что $N(\bar{a}_1\bar{a}_2....\bar{a}_n)=C_{n}^{r}$.
$N$-общее количество таких сочетаний с повторениями длины $r$. Очевидно, что $N=\bar{C}_{n}^{r}=C_{n+r-1}^{r}$.
У меня такой вопрос:
$N(a_1)$-это количество сочетаний длины $r$ где элемент $a_1$ встречается больше одного раза и вообще не встречается?? Я правильно написал?

-- Вс авг 21, 2011 11:21:38 --

Если $N(a_1)$-количество сочетаний длины $r$, где элемент $a_1$ встречается строго больше одно раза. То величина $N(a_1)=\bar{C}_{n}^{r-2}=C_{n+r-3}^{r-2}$. Тогда:
$\sum_{i=1}^{n}N(a_i)=nC_{n+r-3}^{r-2}$. Если так, то ответ получается.
Но ведь $N(a_1)$-количество сочетаний, обладающие свойством $a_1$, т.е. сочетания в которых $a_1$ входит больше одно раза или вообще не встречается. Объясните пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество [Комбинаторика]
Сообщение21.08.2011, 17:34 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
P.S.$\bar{C}_{n}^{r}$ - это количество сочетаний c повторениями из $n$ элементов по $r$ и по определению он равен $C_{n+r-1}^{r}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество [Комбинаторика]
Сообщение21.08.2011, 18:02 
Заслуженный участник


20/12/10
6564
Whitaker в сообщении #476796 писал(а):
P.S.$\bar{C}_{n}^{r}$ - это количество сочетаний c повторениями из $n$ элементов по $r$ и по определению он равен $C_{n+r-1}^{r}$
Это не по определению, это так получается, если подсчитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество [Комбинаторика]
Сообщение21.08.2011, 20:18 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
nnosipov в сообщении #476802 писал(а):
Whitaker в сообщении #476796 писал(а):
P.S.$\bar{C}_{n}^{r}$ - это количество сочетаний c повторениями из $n$ элементов по $r$ и по определению он равен $C_{n+r-1}^{r}$
Это не по определению, это так получается, если подсчитать.

Вы правы. Перепутал. Извините.


Если $N(a_1)$-количество сочетаний длины $r$, где элемент $a_1$ встречается строго больше одно раза. То величина $N(a_1)=\bar{C}_{n}^{r-2}=C_{n+r-3}^{r-2}$. Тогда:
$\sum_{i=1}^{n}N(a_i)=nC_{n+r-3}^{r-2}$. Если так, то ответ получается.
Но ведь $N(a_1)$-количество сочетаний, обладающие свойством $a_1$, т.е. сочетания в которых $a_1$ входит больше одно раза или вообще не встречается. Объясните пожалуйста.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group