Множество рациональных чисел вида $[nt]/n$

[xmaister]

Подскажите идею решения задачи:
Пусть $A_t$ множество рациональных чисел вида $\frac{[nt]}{n},$ $n=0,1,2,\ldots$, $t$- произвольное вещественное число. Доказать, что, если идеал $\mathbf{I}$- составлен из всех конечных подмножеств $\mathbb{Q}$, то $\overline{A_x\equiv A_y (\mod\mathbf{I})}$ и $A_x\cap A_y\equiv\varnothing (\mod\mathbf{I})$ для иррациональных $x,y>0,x\ne y$.

Благодарю.

[nnosipov]

Подозреваю, если убрать всю эту мишуру с идеалами, то будет какой-нибудь очевидный факт. Да, так и есть (я имею в виду последнее утверждение про пересечение $A_x$ и $A_y$). $\overline{A_x\equiv A_y (\mod\mathbf{I})}$ --- что за зверь такой?

[xmaister]

nnosipov в сообщении #476711 писал(а):

$\overline{A_x\equiv A_y (\mod\mathbf{I})}$ --- что за зверь такой?

$A_x\triangle A_y\notin\mathbf{I}$

Ну а $A_x$ и $A_y$ не пересекаются по модулю $\mathbf{I}$, т.е. $A_x\cap A_y\in\mathbf{I}$. Т.е. надо доказать, что если $\mathbf{I}$ состоит из коненых подмножеств $\mathbb{Q}$, то будет выполнятся $\overline{A_x\equiv A_y (\mod\mathbf{I})}$ и $A_x\cap A_y\equiv\varnothing (\mod\mathbf{I})$. Единственное, что я пока знаю про множество всех конечных подмножеств $\mathbb{Q}$ это то, что оно счётно. $A_x$ и $A_y$ тоже счётные. А вот пересечение будет конечным или тоже счётным неясно...

Как можно использовать иррациональность $x,y$?

[nnosipov]

Мне непонятно, зачем здесь вообще иррациональность $x$ и $y$ нужна --- достаточно того, чтобы хотя бы одно из них было нецелым и $x \neq y$. Множество $A_x$ не только счётное, но и ... ещё какое-то хорошее (догадайтесь, и станет понятно).

[xmaister]

$A_x\triangle A_y$- счётное. Значит $A_x\triangle A_y\notin\mathbf{I}$. Остаётся доказать, что пересечение принадлежит идеалу. Я никак не могу понять, какое оно ещё хорошее это $A_x$.

[nnosipov]

xmaister в сообщении #476730 писал(а):

$A_x\triangle A_y$- счётное.

Не более чем счётное (может быть и конечным). Рассмотрим последовательность $a_n=[nx]/n$ при фиксированном $x$. Не имеет ли она случайно предел при $n \to \infty$?

[xmaister]

Имеет предел $x$ и что? Что из этого можно сказать про $A_x$ я не понимаю.

[nnosipov]

А раз имеет, то тогда множество $A_x$ находится в некоторой окрестности точки $x$ (за исключением конечного числа своих элементов). Очевидно, то же можно сказать и о множестве $A_y$. Более того, оба этих множества бесконечны (ну, за понятным исключением). Понятно объяснил?

[xmaister]

Ну да, это понятно, а разве отсюда следует, что [math]$A_x\cap A_y\in\mathbf{I}$[/math

Что-то я совсем запутался. Ведь пересечение будет не более чем счётно, но если оно счётно то оно не будет принадлежать идеалу... В то время как Вы сами сказали, что симм. разность может быть и конечной... но она как я понял идеалу не будет принадлежать, т.к. по условию $x,y$ иррациональны

[Joker_vD]

Ну сами сообразите! $A_x = \dot U_\varepsilon(x) \cup (A_x \setminus \dot U_\varepsilon(x))$, аналогично $A_y$, причем $U_\varepsilon(x) \cap U_\varepsilon(y) = \varnothing$. По каким слагаемым могут пересечься $A_x$ и $A_y$? И какая у тех слагаемых мощность?

[xmaister]

Т.е. мощность их пересечения будет конечная и будет принадлежать идеалу.
Но если так рассуждать, тогда получается что $|A_x\triangle A_y|=\aleph_0$?

-- 22.08.2011, 12:01 --

nnosipov, не пойму почему Вы сказали, что симм. разность не более чем счётно. Ведь сумма двух счётных- счётное.

[nnosipov]

xmaister в сообщении #476942 писал(а):

nnosipov, не пойму почему Вы сказали, что симм. разность не более чем счётно. Ведь сумма двух счётных- счётное.

Я имел в виду общий случай, когда на $x$ и $y$ никаких ограничений нет. Так, если $x$ и $y$ оба целые, то $A_x=\{x\}$ и $A_y=\{y\}$ --- конечные множества.

[Joker_vD]

xmaister в сообщении #476942 писал(а):

Т.е. мощность их пересечения будет конечная и будет принадлежать идеалу.
Но если так рассуждать, тогда получается что $|A_x\triangle A_y|=\aleph_0$?

Ну так вам ведь это и нужно?

[xmaister]

Ну да. Теперь всё ясно. Всем спасибо.