Доказать, или показать на примере, что:

[Апис]

Droog_Andrey в сообщении #476307 писал(а):

Sonic86, преклоняюсь перед Вашей терпимостью

Не беспокойтесь больше не потревожу

[Sonic86]

(Оффтоп)

Droog_Andrey в сообщении #476307 писал(а):

Sonic86, преклоняюсь перед Вашей терпимостью

да ТС вроде бы все понимает, только ему жалко теперь результатов своего труда

[Апис]

$\[p_{n + 1}^2\]$

$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$

$\[\left( {0,p_{n + 1}^2} \right)\]$

Три значения имеют между собой прямую зависимость, невозможно изменить хотя бы один из них и оставить два других без изменения. Ваш переход от P_(n+1)^2 к P_n^2. На основании асимптотического равенства
$\[p_n^2 \sim p_{n + 1}^2\]$
При том, что два других значения оставляете неизмеными.
Неправомерен.

Я вам предложил довести решение до абсурда, точно следуя правилам. Спуститесь по цепочке
$\[p_{n - 2}^2 \sim p_{n - 1}^2 \sim p_n^2 \sim p_{n + 1}^2\]$
Менять значение P_(n+1)^2 так менять, зачем мелочиться

[Sonic86]

Апис в сообщении #476569 писал(а):

Я вам предложил довести решение до абсурда, точно следуя правилам. Спуститесь по цепочке
$\[p_{n - 2}^2 \sim p_{n - 1}^2 \sim p_n^2 \sim p_{n + 1}^2\]$
Менять значение P_(n+1)^2 так менять, зачем мелочиться

Доведите. Я уже писал, что у Вас не получится.

Апис в сообщении #476569 писал(а):

$\[p_{n + 1}^2\]$

$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$

$\[\left( {0,p_{n + 1}^2} \right)\]$

Три значения имеют между собой прямую зависимость, невозможно изменить хотя бы один из них и оставить два других без изменения. Ваш переход от P_(n+1)^2 к P_n^2. На основании асимптотического равенства
$\[p_n^2 \sim p_{n + 1}^2\]$
При том, что два других значения оставляете неизмеными.
Неправомерен.

С чего Вы взяли, что он неправомерен??? Я же говорю, то, о чем Вы говорите, просто не имеет отношения к вычислению предела. Я просто взял выражение и нашел его предел. Правильно нашел? - правильно (если думаете иначе - найдите ошибку). А значит если какими-то другими "рассуждениями" полученный вывод пытаются опровергнуть, то эти самые "рассуждения" и не верны.
Я могу абсурдность Вашего рассуждения только проиллюстировать так:
ххх: докажем, что $\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{2(n+1)}{n} = 2$. Действительно, поскольку $n+1 \sim n$, то $\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{2(n+1)}{n} = \lim\limits_{n \to + \infty} \frac{2(n+1)}{n+1} = \lim\limits_{n \to + \infty} 2 = 2$
ууу: поставим в соответствие числу $n$ квадрат $K_n$ со стороной $n$. Поскольку при замене $n$ на $n+1$ соответствие нарушается, то вычисление предела неверно.

[Апис]

Может хватит трясти каждому своей правдой.

Для вашей правды нужны числа

$\[n \to \infty \]$

Для моей правды они не нужны и поэтому ввожу новое ограничение для (n). Извините, моя работа мои ограничения для (n).


(n) - не стремится к бесконечности

$\[n \not\to \infty \]$

Да (n) какое угодно очень большое число. Но

$\[n \not\to \infty \]$

[Sonic86]

(Оффтоп)

Ну как хотите: хотите "доказывать" ложные высказывания - пожалуйста. Только здесь нет своей и не своей истины, она здесь одна.

[Апис]

Sonic86 в сообщении #476610 писал(а):

Только здесь нет своей и не своей истины, она здесь одна.

Моя истина
x^2+x^2 < x^2+(x+1)^2
при всех значениях (x)

Ваша истина
x^2+x^2 = x^2+(x+1)^2
потому что при
$\[x \to \infty \]$
$\[x \sim (x + 1)\]$


Ложная бесконечность в математике

[nnosipov]

Апис в сообщении #476651 писал(а):

Ваша истина
x^2+x^2 = x^2+(x+1)^2
потому что при
$\[x \to \infty \]$
$\[x \sim (x + 1)\]$


Ложная бесконечность в математике

Не следует приписывать свои глупые домыслы другим.

[Апис]

nnosipov в сообщении #476658 писал(а):

Не следует приписывать свои глупые домыслы другим.

Хорошо оставим этот пример, вернёмся к примеру из нашей дискуссии

Моя правда

$\[{p_n} < {p_{n + 1}}\]$
при всех действительных (n).
$\[n \not\to \infty \]$

Ваша правда

$\[{p_n} \sim {p_{n + 1}}\]$
при
$\[n \to \infty \]$

На этом можно на время прерваться, после введения нового значения
$\[n \not\to \infty \]$
Я могу продолжить поиск величин погрешностей при вычислении количества простых чисел на интервале


$\[p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}} + n\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\left( {1,p_{n + 1}^2} \right)} \]$

Есть неплохая идея. Но я вовремя поставил жёсткие рамки, (три значения имеющие прямую зависимость не могут изменяться по отдельности, изменение одного значения неизбежно влечёт за собой изменение и остальных двух значений).
Это убережёт меня от многих ошибок. Ошибок я уже массу успел наделать.
Если бы не дискуссия на форуме, так бы и бродил по кругу.

[Sonic86]

Апис в сообщении #476688 писал(а):

Моя правда

$\[{p_n} < {p_{n + 1}}\]$
при всех действительных (n).
$\[n \not\to \infty \]$

Ваша правда

$\[{p_n} \sim {p_{n + 1}}\]$
при
$\[n \to \infty \]$

Вы вообще понимаете, что здесь одно другому не противоречит?

Апис в сообщении #476591 писал(а):

(n) - не стремится к бесконечности

$\[n \not\to \infty \]$

Да (n) какое угодно очень большое число. Но

$\[n \not\to \infty \]$

Это, кстати, уже взаимоисключающие параграфы. Строго говоря, бесконечностей здесь и нет. Соотношение $g(n) \sim f(n)$ означает, что для любого положительного, пусть и сколь угодно малого $\varepsilon$ существует $n_0$ такое, что для любого $n>n_0$ отношение $\frac{g(n)}{f(n)}$ отличается от 1 по модулю не более чем на $\varepsilon$. Вы с матанализом разве незнакомы?
К примеру, $p_n \sim p_{n+1}$ означает, что величина $|\frac{p_{n+1}}{p_n}-1|$ становится сколь угодно малой при сколь угодно большом $n$. Т.е. найдется $n_1$ такое, что при $n>n_1$ $|\frac{p_{n+1}}{p_n}-1|<0,001$, найдется $n_2$ такое, что при $n>n_2$ $|\frac{p_{n+1}}{p_n}-1|<0,0000001$ и т.п. Обратите внимание - нет никаких бесконечностей.

[Апис]

Sonic86 в сообщении #476691 писал(а):

Обратите внимание - нет никаких бесконечностей.

А стремление к бесконечности есть?
Предлагаю прервать дискуссию на некоторое время. Так будет лучше. Со временем вернёмся к этому вопросу.

[Sonic86]

Апис в сообщении #476694 писал(а):

А стремление к бесконечности есть?

Его тоже нет. Можете с помощью Ctrl-F проверить.

Апис в сообщении #476694 писал(а):

Предлагаю прервать дискуссию на некоторое время. Так будет лучше. Со временем вернёмся к этому вопросу.

пожалуйста.

[Апис]

Sonic86 в сообщении #476691 писал(а):

Вы с матанализом разве незнакомы?

Я никогда не понимал матанализа, вы пытаетесь мне объяснить, что асимптотическое равенство, это потенциальная бесконечность, но выполняется равенство только при достижении актуальной бесконечности, которой даже математическое определение дать не могут. Если две положительные функции g(x) и h(x) определённые для действительных, положительных значений (x) называют асимптотически равными при

$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{g(x)}}{{h(x)}} = 1\]$

Если хотя бы

$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{g(x)}}{{h(x)}} \to 1\]$

А когда жёсткое равенство. Я не понимаю связей, но не собираюсь ничего отрицать, или доказывать. Предлагаю больше не возвращаться к этому вопросу. Для себя я давно решил, мне не дано понять матанализ. Так что я буду работать в рамках доступного. В работе не могу использовать тот аппарат, который я не понимаю, так что буду пытаться решить проблему простых чисел, теми методами в которых я уверен. Предлагаю больше не возвращаться к этому вопросу. О бесконечности можно говорить бесконечно.

(Jump) числа

Ряд из простых чисел
$\[{p_{n + 1}}\]$
При которых разница между двумя простыми числами
$\[\left( {{p_{n + 1}} - {p_n}} \right)\]$
Последовательно, представляет собой ряд из положительных чисел 2,4,6,8,10......
Назовём рядом из (Jump) чисел.
Соответственно числам
$\[{p_{n + 1}}\]$
Которые соответствуют данным условиям, дадим название (Jump) числа. Джамп число, число прыжок.
Так как подставляя эти числа в формулу
$\[p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} + n\]$
И вычисляя количество простых чисел на интервале
$\[\left( {1,p_{n + 1}^2} \right)\]$
В результате имеем для каждого такого (Jump) числа, прыжок по увеличению величины погрешности вычисления.
Предлагаю ряд из (Jump) чисел начинать с числа (n+1)=31 и чётный ряд из чисел
$\[\left( {{p_{n + 1}} - {p_n}} \right)\]$
Представляющий собой ряд из положительных чисел начинается тогда с числа 14.
Потому что до (n+1)=31 разница между простыми числами небольшая и все они примерно равны, соответственно прыжки по увеличению погрешности небольшие, но заметные. Так что при желании (Jump) числа можно исчислять и с начала числового ряда.

Ряд из величин погрешностей, изменяется более менее стабильно до (Jump) числа, прыжок, и опять период более менее стабильности в изменениях, до следующего (Jump) числа.
Чем это объяснить?
Интервал из составных чисел перед (Jump) числом, самый большой из всех, на числовом отрезке от 1, до (Jump) числа, P_(n+1).
Принимая во внимание, что на интервале
$\[\left( {1,p_{n + 1}^2} \right)\]$
средний пробел
$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \]$
Для данного интервала величина постоянная, а плотность количества простых чисел уменьшается при движении по интервалу от 1 до P_(n+1)^2. То чем больше разница
$\[\left( {{p_{n + 1}} - {p_n}} \right)\]$
Тем больше составных чисел в конце интервала
$\[\left( {1,p_{n + 1}^2} \right)\]$
Тем больше рост величины погрешности.

При вычислении количества простых чисел на интервале
$\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$
$\[p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - p_n^2\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} \]$
Лучше не брать числа
$\[p_{n + 1}^2\]$
Если
$\[{p_{n + 1}}\]$
Является (Jump) числом

Для вычисления нужно выбирать такие периоды на интервале
$\[\left( {1,{p_{n + 1}}} \right)\]$
Внутри которых разница между простыми числами? перед числом P_(n+1) более менее стабильна.
Есть такое предположение, что между соседними (Jump)числами, всегда есть такое простое число P_(n+1) при котором формула вычисления количества простых чисел на интервале
$\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$
$\[p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - p_n^2\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} \]$
Даёт результат с погрешностью меньше единицы E<+-1

Цель данной работы, дать определение (Jump) числа.
А как его использовать? Время покажет.

[Апис]

Апис в сообщении #477381 писал(а):

Так как подставляя эти числа в формулу

Извините, как всегда техническая ошибка, дело в том, что формула учитывает единицу, как простое число, которую нужно вычесть. Тогда в начале, величины погрешностей будут ровнее. Дальше единица конечно особой роли не играет, но всё же.
$\[p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - 1 + n\]$
И ещё одна правка
$\[p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - p_n^2\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} + 1\]$

[Sonic86]

Апис в сообщении #477381 писал(а):

вы пытаетесь мне объяснить, что асимптотическое равенство, это потенциальная бесконечность, но выполняется равенство только при достижении актуальной бесконечности, которой даже математическое определение дать не могут.

Вы про актуальную и потенциальную бесконечность наверное прочитали где-то какую-то альтернативную пургу и теперь, ессно, ничего не понимаете. Я не знаю, что означают эти термины, но в матанализе кое-что вроде бы понимаю. Формально, там вообще нет бесконечностей. Если не понимаете - просто выбросьте эти понятия из головы без ущерба для понимания. И вряд ли в математике есть используемые термины без точного определения - это Вы тоже приврали.

Апис в сообщении #477381 писал(а):

Я не понимаю связей, но не собираюсь ничего отрицать, или доказывать. Предлагаю больше не возвращаться к этому вопросу. Для себя я давно решил, мне не дано понять матанализ. Так что я буду работать в рамках доступного. В работе не могу использовать тот аппарат, который я не понимаю, так что буду пытаться решить проблему простых чисел, теми методами в которых я уверен. Предлагаю больше не возвращаться к этому вопросу. О бесконечности можно говорить бесконечно.

Вам надо просто взять учебник и почитать - там все просто и понятно, гораздо проще, чем простые числа. Если Вы полезли куда-то, где есть суммы и произведения по простым числам, то Вам поможет только матанализ, иначе Ваше занятие совсем бессмысленное - это как трубы варить без сварочного аппарата. Т.е. Вы реально можете пока свою проблему просто бросить, взять Фихтенгольца и почитать его хотя бы месяца три. После этого настанет ясность.

Так, я прочел то, что Вы пишите. Пишите Вы непонятно. Например:

Апис в сообщении #477381 писал(а):

Ряд из простых чисел
$\[{p_{n + 1}}\]$
При которых разница между двумя простыми числами
$\[\left( {{p_{n + 1}} - {p_n}} \right)\]$
Последовательно, представляет собой ряд из положительных чисел 2,4,6,8,10......
Назовём рядом из (Jump) чисел.

Апис в сообщении #477381 писал(а):

Цель данной работы, дать определение (Jump) числа.

Эти 2 абзаца друг-другу не соответствуют. Вы дали определение или нет? Если дали, то почему в конце пишите, что его ищете? Если же Вы ищите формулу для вычисления - пишите, что ищете формулу.
Или вот еще:

Апис в сообщении #477381 писал(а):

на интервале
$\[\left( {1,p_{n + 1}^2} \right)\]$
средний пробел
$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} \]$

Это же не средний пробел! Средний пробел - это $\frac{1}{\pi (m)}\sum\limits_{k=1}^{\pi (m)} d_k$, где $d_k = p_k - p_{k-1}$.
Кроме того - слишком много местоимений. + формально необязательно формулы писать на новой строке и писать столь страшным ТеХом - лишние скобки можно выкинуть.

Сначала точно сформулируйте в 3-х строках то, что Вы ищете. Если ищете формулу для $\pi (x)$ - так и напишите и напишите то выражение, которое предполагаете в качестве искомого. А с деталями потом.