Великолепная пятёрка и вратарь

[Xenia1996]

В хоккейной команде 6 игроков (5 полевых и вратарь), на их свитерах - номера: 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
Если игроки выстраиваются в ряд, получается шестизначное число (например, 345126).
Назовём числа такого вида хоккейными.
Может ли одно хоккейное число делиться нацело на другое?

[mikroz]

Xenia1996 в сообщении #476568 писал(а):

В хоккейной команде 6 игроков (5 полевых и вратарь), на их свитерах - номера: 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
Если игроки выстраиваются в ряд, получается шестизначное число (например, 345126).
Назовём числа такого вида хоккейными.
Может ли одно хоккейное число делиться нацело на другое?

Если они равны, например. Если разные -- нет.

[Xenia1996]

mikroz в сообщении #476579 писал(а):

Если они равны, например. Если разные -- нет.

Почему Вы так думаете?

[mikroz]

Xenia1996 в сообщении #476580 писал(а):

mikroz в сообщении #476579 писал(а):

Если они равны, например. Если разные -- нет.

Почему Вы так думаете?

Очевидно, что все такие "хоккейные" числа имеют одинаковый остаток от деления на 9. На всякий случай, покажем это:
пусть $s(n) = a_1 + ... + a_6$ --- сумма цифр числа $n$, составленного из цифр $a_1, ..., a_6$. Само такое число представимо в виде $10^5 a_1 + 10^4 a_2 + 10^3 a_3 + 10^2 a_4 + 10 a_5 + a_6 =$ $ 99999 a_1 + 9999 a_2 + 999 a_3 + 99 a_4 + 9 a_5 + (a_1 + ... + a_6)$. Отсюда видно, что
сумма цифр числа $n$ и само число, имеют одинаковый остаток от деления на 9. Далее, пусть $a$ и $b$ --- два таких числа и пусть $a$ $\vdots$ $b$.
Тогда и $a - b$ $\vdots$ $b$, т.е. $a - b = b k $. Так как $a - b < 654321$, то $k$ уж точно меньше 9, т.е. на 9 не делится. Посмотрим на разность $a$ и $b$: $99999 (a_1 - b_1) + 9999 (a_2 - b_2) + 999 (a_3 - b_3) + 99 (a_4 - b_4) +9 (a_5 - b_5)$ (суммы цифр уходят ввиду того, что они равны). Эта разность должна делиться на $99999 b_1 + 9999 b_2 + 999 b_3 + 99 b_4 + 9 b_5 + (b_1 + ... + b_6)$, т.е. $99999 (a_1 - b_1) + 9999 (a_2 - b_2) + 999 (a_3 - b_3) + 99 (a_4 - b_4) +9 (a_5 - b_5) = $ $(99999 b_1 + 9999 b_2 + 999 b_3 + 99 b_4 + 9 b_5 + (b_1 + ... + b_6)) k$. Но, как говорилось выше, $k < 9$, а потому на 9 должно делиться выражение в скобках, а точнее, сумма цифр "хоккейного" числа $b$. Но она постоянна и равна 21, посему и получаем противоречие. Стоит заметить, что если бы мы имели, скажем, 8 или 9 игроков, то смогли бы найти два числа, одно из которых делилось бы на другое.

[nnosipov]

mikroz в сообщении #476585 писал(а):

... а потому на 9 должно делиться выражение в скобках ...

Вы применяете здесь ошибочное утверждение: если $AB$ делится на $C$, при этом $B$ не делится на $C$, то $A$ должно делиться на $C$.

[Xenia1996]

mikroz в сообщении #476585 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #476580 писал(а):

mikroz в сообщении #476579 писал(а):

Если они равны, например. Если разные -- нет.

Почему Вы так думаете?

Очевидно, что все такие "хоккейные" числа имеют одинаковый остаток от деления на 9. На всякий случай, покажем это:
пусть $s(n) = a_1 + ... + a_6$ --- сумма цифр числа $n$, составленного из цифр $a_1, ..., a_6$. Само такое число представимо в виде $10^5 a_1 + 10^4 a_2 + 10^3 a_3 + 10^2 a_4 + 10 a_5 + a_6 =$ $ 99999 a_1 + 9999 a_2 + 999 a_3 + 99 a_4 + 9 a_5 + (a_1 + ... + a_6)$. Отсюда видно, что
сумма цифр числа $n$ и само число, имеют одинаковый остаток от деления на 9. Далее, пусть $a$ и $b$ --- два таких числа и пусть $a$ $\vdots$ $b$.
Тогда и $a - b$ $\vdots$ $b$, т.е. $a - b = b k $. Так как $a - b < 654321$, то $k$ уж точно меньше 9, т.е. на 9 не делится. Посмотрим на разность $a$ и $b$: $99999 (a_1 - b_1) + 9999 (a_2 - b_2) + 999 (a_3 - b_3) + 99 (a_4 - b_4) +9 (a_5 - b_5)$ (суммы цифр уходят ввиду того, что они равны). Эта разность должна делиться на $99999 b_1 + 9999 b_2 + 999 b_3 + 99 b_4 + 9 b_5 + (b_1 + ... + b_6)$, т.е. $99999 (a_1 - b_1) + 9999 (a_2 - b_2) + 999 (a_3 - b_3) + 99 (a_4 - b_4) +9 (a_5 - b_5) = $ $(99999 b_1 + 9999 b_2 + 999 b_3 + 99 b_4 + 9 b_5 + (b_1 + ... + b_6)) k$. Но, как говорилось выше, $k < 9$, а потому на 9 должно делиться выражение в скобках, а точнее, сумма цифр "хоккейного" числа $b$. Но она постоянна и равна 21, посему и получаем противоречие. Стоит заметить, что если бы имели, скажем, 8 или 9 игроков, то смогли бы найти два числа, одно из которых делилось бы на другое.

Вот моё решение:

Сумма цифр каждого хоккейного числа равна 21, сиречь, даёт остаток 3 при делении на 9.
Стало быть, если одно хоккейное число делится на другое, их отношение может быть только 4 или 7, но 7 отпадает, ибо тогда большее число не меньше 700000.
Значит, только 4.

А теперь присмотритесь внимательно, что происходит с двойкой.
Если записать четыре двойки одна под другой, выйдет 8, 9 или 0.
Больше выйти не может, ибо тогда придётся занимать из предыдущего разряда как минимум тройку, что, очевидно, невозможно.

Ответ: таких чисел нет.

[nnosipov]

Xenia1996, симпатичное решение.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #476590 писал(а):

Xenia1996, симпатичное решение.

Надеюсь, я понятно изложила?

Отношение, очевидно, должно быть меньше 10.
А раз умножаем на 4, то просто пишем четыре одинаковых числа друг под другом.

[mikroz]

nnosipov в сообщении #476590 писал(а):

Xenia1996, симпатичное решение.

Ага, симпатичней моего, я в лоб написал :)

[Xenia1996]

mikroz в сообщении #476593 писал(а):

nnosipov в сообщении #476590 писал(а):

Xenia1996, симпатичное решение.

Ага, симпатичней моего, я в лоб написал :)

Предлагаю обобщить задачу - раздать номера запасным игрокам и поиграться со всеми перестановками.

[mikroz]

Xenia1996 в сообщении #476595 писал(а):

mikroz в сообщении #476593 писал(а):

nnosipov в сообщении #476590 писал(а):

Xenia1996, симпатичное решение.

Ага, симпатичней моего, я в лоб написал :)

Предлагаю обобщить задачу - раздать номера запасным игрокам и поиграться со всеми перестановками.

Ну, если раздать номера больше 9 и делать перестановки цифр, то интересно. А так, как я уже написал, для 8 и 9 игроков, делящиеся друг на друга числа найдутся.

-- Сб авг 20, 2011 19:41:17 --

nnosipov в сообщении #476587 писал(а):

mikroz в сообщении #476585 писал(а):

... а потому на 9 должно делиться выражение в скобках ...

Вы применяете здесь ошибочное утверждение: если $AB$ делится на $C$, при этом $B$ не делится на $C$, то $A$ должно делиться на $C$.

Ну, хорошо, можно показать, что на 3 $k$ также делиться не может. Точнее, очевидно, что $k < 6$, т.е. остается вариант, что $k = 3$, т.е. $a=4b$. Ну, а про это уже написано.