Чдесные свойства числовых полей

[lasta]

Чудесные числовые поля
При автоматическом распознавании образов эффективное применение получили двумерные преобразования Уолша. Дополнительно к ним в виде свертки применяется функция нормирования яркости изображения. В связи с тем , что реальные изображения имеют большой диапазон яркостей отдельных точек, применяются нелинейные преобразования. Наиболее удачное из них, - аппроксимация логарифмической чувствительности глаза степенными функциями. Здесь-то и проявляется чудесное свойство числовых полей для степенных функций. Но другим, поистине удивительным свойством, оказалось, что они могут применяться для решения столь сложных задач теории чисел, к которым относятся задачи Ферма. Мне не удалось закончить предыдущую статью. И в этом я больше всего виню себя, так как не нашел наиболее продуктивный путь дискуссии.





Рис. 1

Покажем, например, как можно применять числовые поля для анализа суммы двух степеней с целыми основаниями. Предположим, что существует уравнение
$a^p +b^p=c^p$, $p$ - простой показатель больше 3. И соответствующие степеням числовые поля – треугольники a, b, c. Как видно на рисунке числовое поле для степени $b^p$ смещено от вершины до низа числового поля. Это возможно, так как сумма чисел в треугольнике не изменяется при его вертикальном смещении, для степени с любым показателем. Как вид но из рисунка степенное поле

$F^p=(a+b-c)^p$ (1)

Для кубов это будет

$F^3=(a+b-c)^3= 3(c-a)(c-b)(a+b)$. (Для других степеней при выполнении (1) это выражение будет дополнено множителем, представляющим некоторую функцию). Из числового поля видно сразу, что суммы чисел закрашенных числовых полей равны. Что и подтверждается формулой через разности приращений для всех показателей.

ф$ (c^p -a^p) –(b^p-F^p) $ при выполнении (1) эта разность и будет равна $f^p$

При продуктивной работе можно будет продолжить обсуждение о применении числовых полей. Но, сразу хочу предупредить я не представляю новых доказательств, а предлагаю использовать метод для доказательства. И предполагаю, что Ферма использовал для доказательст своих утверждений подобные числовые поля.

Напомню как строятся эти числовые поля
Например, для кубов:

1
1 6
1 6 12
1 6 12 18
1 6 12 18 24
……………….

Для показателя 5

1
1 30
1 30 180
1 30 180 550
1 30 180 550 1340
……………………

Для любой степени, первый столбец будет составляться также из $1$ и сумма их в столбце будет равна основанию степени, а все числа поля разности приращений кратны показателю если показатель простое число. Но это же разу дает доказательство малой теоремы Ферма. Отнимите первый столбец, то есть основание степени и сумма остальной части поля будет делится на показатель, так как каждое число поля, представляющее разность приращений делится на показатель. . свойство разностей приращений для целых чисел для простых показателей.

[nnosipov]

lasta в сообщении #476201 писал(а):

Но это же разу дает доказательство малой теоремы Ферма.

Не будем торопиться. Для начала ещё раз объясните, по какому принципу составлены таблицы. Из Ваших пояснений к ним ясно только то, что они состоят из чисел, кратных данному простому показателю (за исключением единичек в первом столбце).

[lasta]

nnosipov в сообщении #476212 писал(а):

lasta в сообщении #476201 писал(а):

Но это же разу дает доказательство малой теоремы Ферма.

Не будем торопиться. Для начала ещё раз объясните, по какому принципу составлены таблицы. Из Ваших пояснений к ним ясно только то, что они состоят из чисел, кратных данному простому показателю (за исключением единичек в первом столбце).

[Kallikanzarid]

lasta
Определение числового поля or GTFO.

[lasta]

Сумма чисел в каждой строке числового поля (пятая колонка таблицы) равна приращению степени при увеличении основания степени на 1. Поэтому в каждой строке поля
записываем все разности приращений, полученные до этой строки (включая ее).

[Kallikanzarid]

lasta в сообщении #476298 писал(а):

Сумма чисел в каждой строке числового поля (пятая колонка таблицы) равна приращению степени при увеличении основания степени на 1. Поэтому в каждой строке поля
записываем все разности приращений, полученные до этой строки (включая ее).

Все равно не понимаю, дайте формальное определение как положено. И еще вопрос: зачем вы выписываете это дело замысловатой пирамидкой, если по сути речь идет просто о последовательности? Также, откуда название "числовое поле"? Англовики на запрос number field переводит меня на статью про алгебраические расширения $\mathbb{Q}$, что правильно.

[lasta]

Для чего пирамидкой?
Для того чтобы видеть степень не в двух символов, а гораздо шире. Это позволяет мыслить более крупными категориями. Например, читая доказательства какого-либо утверждения на алгебраической теории, читатель после 10 страниц теряет нить событий. Здесь же поле всегда перед глазами. А сколько свойств! Вы посмотрите на Рис.2 В каждой выделенной области сумма чисел делится на количество элементов области. То же для горизонтальных, вертикальных, диагональных интервалов. Кроме того, указанные области делятся на сумму наименьшего и наибольшего чисел области. (следствие свойства степени - разность и сумма степеней с показателем больше 2 делится на разность и сумму их оснований.) Это влечет за собой еще много других наглядных свойств.


-- 20.08.2011, 08:15 --

Почему название числовое поле?
Спасибо за конкретные вопросы.
Вы же понимаете, что с помощью современного уровня алгебраической теории чисел можно на десяти страницах размышлять над первым случаем теоремы Ферма и доказательство даже этого случая будет далеко не элементарным. Если мы хотим найти те элементарные доказательства, которыми по моему убеждению Ферма несомненно владел, то мы должны погрузиться в эпоху 15 века и опираться на суждения того времени, в котором появилась ВТФ. Я предполагаю, что Ферма использовал этот метод. Об этом говорит столь очевидное доказательство Малой теоремы Ферма с помощью этого метода.. По аналогии «Треугольник Паскаля» эти последовательности можно было назвать «треугольник Ферма.» Вся информация о создании пирамидки в верхнем поле таблицы. Готов ответить на дополнительные конкретные вопросы.

-- 20.08.2011, 08:24 --

Во многих случаях детализация поля до чисел не требуется. Например, чтобы представить уравнение Великой теоремы и ограничится анализом размещения полей двух степеней, в поле третьей степени, достаточны границы полей. Поэтому их можно представлять упрощенно в виде треугольников с указанием оснований степени в нижнем остром угле границ поля. (в статье есть опечатки. (1) относится к уравнению ВТФ).

[Kallikanzarid]

lasta
Понятно. Санитары!

ЗЫ: вы так говорите про современную теорию чисел, будто хоть раз что-нибудь по ней читали

[Kallikanzarid]

ЗЗЫ: я ничего не имею против рассмотрения конечных разностей, но шизофреничная разработка этой идеи меня просто убивает.

[Коровьев]

lasta в сообщении #476364 писал(а):

Например, читая доказательства какого-либо утверждения на алгебраической теории, читатель после 10 страниц теряет нить событий.

Чел, добравшийся до 10-ой страницы сложного доказательства, это уже хорошо. Плохо, когда не удаётся добраться даже до 10-ой строки, что бы не почувствовать себя полным идиотом в заданной тематике, типа этой.

[lasta]

Читал, конечно, но, Вы правы, для меня ближе другие разделы математики.
Но, продолжим по существу.
Рассмотрим, например, возможные пути доказательство справедливости ВТФ для кубов. Поле кубов Рис 3. (Числа оставлены для первого ознакомления. В дальнейшем все логические конструкции можно составлять без лишней детализации поля.) Как уже говорилось при смещении поля вертикально, сумма чисел в нем не меняется. Поэтому $a^3$ размещено в треугольнике –$a$, $b^3$ в треугольнике $b$ и $c^3$ в треугольнике $c$. Начнем, как и все, с полированной фразы, если ВТФ не верна, то сумма чисел треугольников $a$, $b$ должна равняться сумме чисел треугольника $c$, а, следовательно, сумма чисел треугольника $f$, то есть $f^3$ должна равняться сумме чисел ромба в правом нижнем углу поля. Свойства ромба: сумма чисел ромба (в дальнейшем просто ромб) делится на 3, на $(c-a)$, на $(c-b)$ и на $(a+b)$. Это следует из того, что разность степеней с $p>2$ (а следовательно и разность приращений) делится на сумму и разность их оснований. Очевидно, что один из кубов кратен 3. Пусть это - $b^3$. Он должен равняться сумме чисел в большой трапеции внизу поля и поэтому кратен $(c-a)$, Так как сумма ромба должна равняться $f^3$, то $3(c-a)$, $(c-b)$, $(a+b)$ являются кубами. (как Вам такое доказательство формул Абеля). Если рассмотреть другой ромб с такими же границами, но смещенный влево, то он сохранит свойства делимости на все указанные числа, кроме степени, которая представляет сумму. Эта сумма будет уменьшаться с каждым шагом на одно и то же число $6(c-a)$. Поскольку существует другая степень $f^3_1$, меньшая $(a+b)$, то должно существовать равенство
$(c^3_1-a^3_1) - $(b^3_1-f^3_1)$ = $f^3_1$ ,что возможно только при $c^3_1-a^3_1-b^3_1=0$, а следовательно спуск доказан и опровержение ВТФ не верно.
Я предлагаю только возможный метод использования полей для доказательств различных задач и не претендую на корректность изложения доказательства для кубов в таком укороченном варианте.

[nnosipov]

lasta, устройство Ваших таблиц теперь понятно: они составлены на основе 2-х разностей последовательности $p$-х степеней. Глядя на эти таблицы, Вы подмечаете некоторые закономерности. И это хорошо. Дальнейший план действий должен быть таким: 1) формализовать обнаруженное свойство таблиц, т.е. чётко и грамотно его сформулировать; 2) дать аккуратное (математически грамотное) доказательство этому свойству; 3) в случае удачи в п. 2) известить общественность о своих достижениях. Вы же предпочитаете начинать с п. 3). Вот, например, Вы пишите, что из таблиц сразу следует малая теорема Ферма. А где доказательство?

[lasta]

Благодарю за дельный совет, и прошу извинить меня за не допустимые высказывания.

[nnosipov]

Ok, нет проблем.

[lasta]

Построение треугольника вторых разностей степеней и его свойства.
Для произвольного основания $a>1$, в последовательности с шагом $1$, вторые разности степеней $a^p$, (где $a∈N {0, 1, 2, 3,….}$, $p$- простое число) определяются выражениями
$\left((a+1)^p-a^p\right)-\left(a^p-(a-1)^p\right)=\left(a^p+_1^pa^{p-1}+\text{...}+_k^pa^k+\text{...}+_{p-1}^pa+1-a^p\right)-\left(a^p-\left(a^p-_1^pa^{p-1}+\text{...}+_k^p(-1)^ka^k+\text{...}+_{p-1}^pa-1\right)\right)$ или
$\left((a+1)^p-a^p\right)-\left(a^p-(a-1)^p\right)=2\left(\text{}_2^pa^{p-2}+\text{...}+\text{}_k^pa^k+\text{...}+\text{}_{p-2}^pa^2\right)$ (1)
$\text{}_{p-1}^p=\frac{p!}{k!(p-k)!}$;$(2)$, -биномиальные коэффициенты
Как видим порядок снизился на 2. Знаменатели биномиальных коэффициентов (1) не содержат $p$. Следовательно, все вторые разности степеней для $a>1$ будут кратны показателю $p$. Далее, во множестве $ {0, 1, 2, 3,….}$, ноль не имеет предшествующего числа, поэтому последовательность первых разностей степеней будет начинаться с нуля. То же самое относится и ко вторым разностям степеней. (четвертая колонка таблицы 1.)И единственным членом последовательности не делящимся на показатель будет 1. Такой подход обеспечивает восстановление значения степени по ее вторым разностям без применения начальных условий и согласуется с тем фактом, что производная непрерывной степенной функции в этой точке равна нулю. (Что необходимо учитывать при работе с дробными основаниями). Однако, следует отметить, что (по сведениям Г. Эдвардса ) во времена Ферма к отрицательным числам и нулю еще относились с подозрением.. Поэтому поле вторых разностей степеней, если Ферма таковые все же строил, вначале могло состоять без столбца единиц. Этот вариант для восстановления значения степени по вторым разностям требует прибавления начальных условий, численно равных основанию степени. Однако и в том и другом случае справедливость малой теоремы Ферма очевидна.
Рассмотрим отдельные области поля с произвольным простым показателем. Для примера пусть это будет степень с показателем p=5. (рис1)Сумма чисел первого столбца (сумма единиц) равна основанию степени (см. также таб.2). Остальная часть поля

пропорциональна показателю, как только что мы доказали. Отсюда и вытекает справедливость малой теоремы Ферма.
Рассмотрим очевидные свойства поля.. На рис 1(а) показано поле для пятой степени.. Треугольник вверху поля определяет степень $4^5$.
1. Если переместить этот треугольник вертикально вниз, то сумма чисел в нем не изменится.
2. Основание степени иррационально при неполной последней строки поля. Поле в этом случае представляет либо составное число, либо простое. Необходимым условием представления простого числа в этом случае является то, чтобы дополнение до степени (дополнение до полной последней строки) не равнялось степени.
3. При вычитании степеней рис.1(б) мы получаем трапецеидальное поле, которое также обладает замечательными свойствами. При равных разностях оснований
4. $c-a=b-d=...=u$ все разности степеней $c^p-a^p$; $b^p-d^p$; …… являются подобластями наибольшей из них (разностей степеней) рис.1 (б)

5. Числа в столбцах поля одинаковые, поэтому, очевидно, что сумма чисел в столбцах делится на их количество.
6. Разности степеней делятся на разность оснований $u$. Поэтому, вторые разности степеней для аргумента $u$ также делятся на $u$. Например, сумма последних диагональных чисел рис.1 (б) делится на 3.
7. Следствием п.6 является то, что любая последовательность чисел в любой строке области поля (без столбца единиц) делится на число чисел в последовательности.
8. Если границы поля определяет прямоугольный равносторонний треугольник рис.2.(а) то в любом треугольнике сумма чисел делится на их количество в треугольнике. Это очевидно из рис.2 (в).
9. Согласно (1) любой элемент поля в области $B$ рис.2(г) делится на его порядковый номер в строке; (последний элемент поля степени делится на $(a-1)$), где $a$ основание степени.
10. При произвольных размерах ромба рис.2(б) сумма чисел в нем делится на количество их в строке, на количество в наклонных столбцах ромба, а также на общее количество их в ромбе(что важно для определения среднего значения чисел в ромбе). Кроме того, сумма чисел ромба делится на суммы порядковых номеров чисел на концах каждой диагонали ромба.
Действительно, сумма в ромбе для всех степеней с простым показателем равна (рис.3)


$\left(c^p-a^p\right)-\left(b^p-f^p\right)=\left(c^p+f^p\right)-\left(a^p+b^p\right)\text{ }(3)$, но
$c+f=c+a+b-c=a+b$
Следовательно выражение (3) делится на $(a+b)$.


Далее, не сложно убедиться , что суммы порядковых номеров концов диагоналей ромба определяются основаниями степеней, образующих вторую разность степеней по аргументу $u$, то есть область поля определяемую ромбом. На рис.3, в соответствующих полях степеней $ a^p, b^p, c^p, f^p $ проставлены порядковые номера последних чисел в последних строках степеней. Кроме того, обозначены порядковыми номерами начальные и конечные числа в первой и последней строках поля ромба. По короткой диагонали сразу видно, что сумма порядковых номеров равна $a+b$. По длинной диагонали
$(f+1) +(c-1)=f+c=a+b-c+c=a+b$
Это свойство важно для использования в доказательствах ВТФ . Кратко метод доказательства для кубов (случай, когда $a$ кратно $3$ был приведен ранее). Можно только дополнить, что сумма $a+b$ при смещении границ ромба (рис.2 б) будет уменьшаться на 2 с каждым единичным шагом. Поэтому обязательно определится другая степень $a_1+b_1$ меньшая $a+b$, так как существуют, по крайней мере, следующие степени
$2^3,3^3,\frac{c-a}{3^{3k-1}},c-b$ меньшие $a+b$,
В случае если $a+b$ кратно 3, и степенью является $3(a+b)$, то существуют по крайней мере степень $3^3$, меньшая $3(a+b)$, так как, очевидно, что $(a+b)>9$, Напомним, что в случае если теорема Ферма для кубов не верна, то сумма поля, определяемого ромбом, равна $f^3$ и определяется выражением.
$3(c-a)(c-b)(a+b)$ и при спуске (смещение границ ромба влево) меняется только один ее сомножитель $(a+b)$