Уравнение $x^3+y^3=2z^3$ в частном случае

[nnosipov]

Предлагается найти все решения $(x,y,z)$ этого уравнения в натуральных числах, удовлетворяющие условию: $x+y+z$ --- простое число. Источник: http://www.imomath.com/othercomp/Journ/mathscope.pdf problem 343.2

P.S. Как известно, это уравнение в целых числах имеет только тривиальные решения (кажется, Эйлер). Однако доказывается это примерно также, как и случай $n=3$ для ВТФ, т.е. не совсем просто (да и найти это доказательство в популярной литературе тоже не просто; мне вот не удалось). При указанном дополнительном условии есть, вероятно, более короткое решение.

[nnosipov]

Что-то совсем простой эта вьетнамская задача оказалось ... Согласны, господа? Кстати, ровно также обстоит дело и в случае уравнения $x^3+y^3=4z^3$.

[mihiv]

$x=y=z=1,p=3$-решение.Покажем,что других решений нет.Очевидно $x,y,z$ должны быть нечетными.$p=x+y+z$-простое число больше 2(и больше $z$).

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(p-z)(x^2-xy+y^2) \qquad (1)$$

Из (1) и исходного уравнения видим,что $z|p(x^2-xy+y^2)$,а т.к. $p$ простое больше $z$,то $z|(x^2-xy+y^2)$,подставляя в (1) вместо $x^2-xy+y^2,k_1z$ приходим к выводу,что $z^2|(x^2-xy+y^2)$ и затем,что $z^3|(x^2-xy+y^2)$.Таким образом исходное уравнение можно записать в виде

$$(x+y)k_2z^3=2z^3$$

или

$$(x+y)k_2=2$$

А это возможно только если $x=y=1$

[nnosipov]

mihiv, хорошее решение (прежде всего потому, что работает для любого уравнения вида $x^3+y^3=az^3$ с конкретным натуральным $a$). Но я имел в виду существенно более простое рассуждение: из равенства $x^3+y^3=2z^3$ очевидно следует сравнение $p=x+y+z \equiv 0 \pmod{3}$ Если рассматривать по модулю $9$, то таким способом удаётся справится с уравнением $x^3+y^3=az^3$ в случае, когда $a \not\equiv 0,1,7 \pmod{9}$. Однако для оставшихся значений $a$ нужно придумывать что-то иное.

[age]

$47^3+25^3=553\cdot6^3$, $553 \not\equiv 0,1,7 \pmod{9}$.

[nnosipov]

age в сообщении #475976 писал(а):

$47^3+25^3=553\cdot6^3$, $553 \not\equiv 0,1,7 \pmod{9}$.

Здесь $47+25+6=78 \equiv 6 \pmod{9}$ --- не простое число. В этой теме обсуждается следующая задача: при фиксированном натуральном $a$ решить уравнение $x^3+y^3=az^3$ в натуральных числах при условии, что число $x+y+z$ --- простое (в заголовке темы --- случай $a=2$). При $a=553 \equiv 4 \pmod{9}$ эта задача решений не имеет. Действительно, для каждого $r \in \{0,1,2,\dots,8\}$ рассмотрим систему сравнений

$$ x^3+y^3 \equiv 553z^3 \pmod{9}, \quad x+y+z \equiv r \pmod{9}. $$

Проверка показывает, что она разрешима только если $r \in \{0,3,6\}$. В этом случае число $p=x+y+z$ должно делиться на $3$. Так как по условию оно простое, то $p=3$, откуда $x=y=z=1$. Но эта тройка чисел не удовлетворяет уравнению $x^3+y^3=553z^3$.

[age]

Да, не простое. Недочитал.