Эллиптическая кривая: критерий гладкости

[sasha_vertreter]

Вот дано такое выражение:

условие, что кривая
$y^2=x^3+ax+b$ где $a, b \in \mathbb{F}$ и $char \mathbb{F} \neq 2,3$ - гладкая, равносильно требованию, чтобы у кубического полинома не было кратных корней.

Направьте пожалуйста - как гладкость ( то есть существование непрерывной производной для всей кривой) соотносится с корнями кубического полинома?

Спасибо!

[ewert]

sasha_vertreter в сообщении #476182 писал(а):

Направьте пожалуйста - как гладкость ( то есть существование непрерывной производной для всей кривой) соотносится с корнями кубического полинома?

$y=\pm\sqrt{x^3+ax+b}$. Если корень многочлена под радикалом простой, то при кривая пересекает горизонтальную ось в этой точке вертикально и, соответственно, кривая (именно кривая, а не функция $y(x)$) оказывается гладкой. Если корень двукратный, то кривая подходит к оси и снизу, и сверху под ненулевым углом, т.е. в этой точке получается излом. Если же корень трёхкратный (что, впрочем, возможно лишь при $a=b=0$), то получится вообще клювик.

[Vince Diesel]

Будет точка самопересечения (для $\mathbb F=\mathbb R$). Как уже указал ewert, для произвоной будет два значения, решение в окрестности двукратного корня $x_0$ будет похоже на $\pm c|x-x_0|$.

[ewert]

Vince Diesel в сообщении #476240 писал(а):

Будет точка самопересечения

Хм. Вообще-то с учётом самопересечения она в любом случае будет гладкой, так что, строго говоря, не очень понятен смысл исходного утверждения...

[nnosipov]

ewert в сообщении #476243 писал(а):

Вообще-то с учётом самопересечения она в любом случае будет гладкой

Да не должно быть точек самопересечения у гладких кривых (по определению, насколько я помню). И точек возврата, как у полукубической параболы $y^2=x^3$.

[Алексей К.]

nnosipov, чё-то не то Вы говорите, по-моему... Декартов лист, лемниската $\infty$, просто восьмёрка.
Особая точка типа "точка самопересечения" не противоречит гладкости, хоть бесконечной.

-- 19 авг 2011, 18:11 --

sasha_vertreter в сообщении #476182 писал(а):

гладкость ( то есть существование непрерывной производной для всей кривой)

Требует уточнения. Какой производной? Уж во всяком случае не $y'_x$

[ewert]

Алексей К. в сообщении #476280 писал(а):

Требует уточнения. Какой производной?

Раз кривая, то требует не уточнения, а правильного понимания. Имеется в виду гладкость хоть какой-либо параметризации.

[Vince Diesel]

Имеются разные определения для разных нужд. Здесь есть гладкая параметризация , т.е. погружение прямой в плоскость. Но вложением это не будет (поскольку нет взаимной однозначности). Если же вспомнить определение гладкого многообразия, то там требуется существование для каждой точки окрестности, диффеоморфной шару. В одномерном случае интервалу, что для точки самопересечения не выполнено.

[sasha_vertreter]

ewert в сообщении #476234 писал(а):

sasha_vertreter в сообщении #476182 писал(а):

Направьте пожалуйста - как гладкость ( то есть существование непрерывной производной для всей кривой) соотносится с корнями кубического полинома?

$y=\pm\sqrt{x^3+ax+b}$. Если корень многочлена под радикалом простой, то при кривая пересекает горизонтальную ось в этой точке вертикально и, соответственно, кривая (именно кривая, а не функция $y(x)$) оказывается гладкой. Если корень двукратный, то кривая подходит к оси и снизу, и сверху под ненулевым углом, т.е. в этой точке получается излом. Если же корень трёхкратный (что, впрочем, возможно лишь при $a=b=0$), то получится вообще клювик.

да, спасибо, я вообще это для задач криптографии рассматриваю, а там мы рассматриваем эллиптическую кривую над некоторым абстрактным полем, и само понятие производной чисто формально, однако нам как раз и нужно, чтобы не было "клювиков" и самопересечения, это кстати легко представить если посмотреть на кривую в $\mathbb{R}^2$

при наличии кратных корней мы например имеем $x_2=x_3$ и кривая будет иметь как раз самопересечение, что не удовлятворяет требованию гладкости

верно?

[Kallikanzarid]

sasha_vertreter
А что имеется ввиду под гладкостью в случае произвольного поля?

[ewert]

Вот и я тоже этого не понимаю (даже несмотря на то, что не разбираюсь в шифрованиях).

[Joker_vD]

А точно гладкость нужна? Насколько я знаю, от кривых $C = V(F), \; F \in k[X,Y]$ обычно требуют отсутствие особенностей — чтобы ни в какой точке $(x,y) \in C$ обе производные $F'_X(x,y),F'_Y(x,y)$ в нуль не обращались.

[alcoholist]

Vince Diesel в сообщении #476284 писал(а):

Имеются разные определения для разных нужд. Здесь есть гладкая параметризация , т.е. погружение прямой в плоскость.

Кривая $y=t^3$, $x=t^2$ гладко параметризована... но погружением прямой в плоскость это инъективное отображение не является

[RIP]

Joker_vD в сообщении #476325 писал(а):

Насколько я знаю, от кривых $C = V(F), \; F \in k[X,Y]$ обычно требуют отсутствие особенностей — чтобы ни в какой точке $(x,y) \in C$ обе производные $F'_X(x,y),F'_Y(x,y)$ в нуль не обращались.

именно это и называется гладкостью.

[Kallikanzarid]

Joker_vD
Поскольку поля могут быть самыми разными особенность придется определять так:
"A general algebraic variety V being defined by several polynomials, or in algebraic terms an ideal of polynomials, the condition on a point P to be a singular point of V is that the linear parts of those polynomials are linearly dependent, when written in terms of variables Xi − Pi that make P the origin of coordinates."
http://en.wikipedia.org/wiki/Singular_p ... ic_variety

Хотя алгебраическая геометрия на конечных полях - довольно шизофреничная вещь

-- Сб авг 20, 2011 03:23:39 --

alcoholist
Вообще странно, что кто-то пытается говорить о параметризации алгебраических кривых