Линейная алгебра, унитарная матрица

[Nooob]

Joker_vD
Да, Вы совершенно правы. Имелось в Виду условие ортонормированности на два собственных вектора :)

-- 18.08.2011, 00:51 --

ewert
Ок. Тогда первый собственный вектор, отвечающий собственному значению 1 $\left( \begin{array}{cc} \frac {1}{\sqrt2} & \frac{i}{\sqrt2}\end{array} \right)$
А вектор, отвечающий второму собственному значению -1 должен во-первых, быть ортогонален первому, а во-вторых, $x_1=ix_2$ Но если второе условие поставить в усл ортогональности получается ноль. Или это только у меня?..

[Kallikanzarid]

Nooob
Векторы, не вектора.

[ewert]

Nooob в сообщении #475974 писал(а):

А вектор, отвечающий второму собственному значению -1 должен во-первых, быть ортогонален первому,

И этого, между прочим, вполне достаточно (раз уж пространство двумерно). Если лень искать тот вектор честно -- то тыкайте наугад в любой вектор, ортогональный первому и потом нормируйте.

[Nooob]

Так в том-то и дело, что ортогональный не получается найти. Для собственного значения -1
$\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}$.
То есть $x_1=ix_2$.
Если подставить это в условие ортогональности: $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{i}{\sqrt2}\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 & x_2\end{pmatrix} $
получится
$\frac{1}{\sqrt2}*(-i\overline{x_2}) + \frac{i}{\sqrt2}*(\overline{x_2}) = 0 $

[ИСН]

А Вы чего ждали от ортогональных векторов? Разумеется, 0.

[Nooob]

Блин. =( Тут действительно всё получается. В прошлый раз не сходилось со знаками.. Теперь не могу вспомнить, что именно вчера не сходилось. Наверно, арифметическая ошибка.

Всем списибо за помощь!!