Для настоящих любителей арифметики

[Xenia1996]

Найти все простые $p$, при которых $p^4+833$ имеет ровно 14 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).

*Отмечу, что данная задача вполне решаема именно в уме, без помощи ручки и бумаги.

[Sonic86]

Ну да хотя на бумажке проще + в голове пришлось 2 числа факторизовывать.

(ответ)

$p=5$

Наверное даже для любого фиксированного $\tau (n)$ число $n:n=p^4+833$ конечно

[arseniiv]

А как это можно решить в уме?

[Руст]

Считать в уме не просто.
Вначале надо заметить, что $p=2$ не дает решения $849=3*283$ (надо проверить, что 283 не является 6 - ой степенью). Так как при нечетном р выражение делится на 2, но не делится на 4, получаем:
$p^4+833=2q^6$ или $p^4-5^4=2(q^6-3^6)$. Отсюда получается решение $p=5$. То, что других решений нет можно доказать используя взаимную простоту сомножителей. Но это не задача для выполнения в уме.

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #475791 писал(а):

Ну да хотя на бумажке проще + в голове пришлось 2 числа факторизовывать.

(ответ)

$p=5$

Наверное даже для любого фиксированного $\tau (n)$ число $n:n=p^4+833$ конечно

(Оффтоп)

849 и 914 приходится факторизировать. А дальше - самое интересное. Простые числа, большие 3, дают остаток 1 или -1 при делении на 6, а значит, их 4-ые степени - только остаток 1. Стало быть, $p^4+833$ должно делиться на 6. Но тогда оно делится на 2 и на 3. В этом случае для 14 делителей есть только две возможности.
$2^6\cdot 3=192$ не годится. Остаётся $2\cdot 3^6=1458$, оно годится. Ответ: $p=5$

-- Ср авг 17, 2011 11:35:16 --

arseniiv в сообщении #475792 писал(а):

А как это можно решить в уме?

Молча
Достаточно хорошо владеть навыками устного счёта.

-- Ср авг 17, 2011 11:42:56 --

Руст в сообщении #475793 писал(а):

Но это не задача для выполнения в уме.

То решение, которое я написала, можно вполне выполнить в уме. Там самую большую трудность представляет именно факторизация для $p\in\{2, 3\}$

[Kallikanzarid]

Настоящие любители арифметики такой фигней не маятся

[Sonic86]

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #476036 писал(а):

Настоящие любители арифметики такой фигней не маятся

Перефразируя граффити из Кнута:
"А чем же маются настоящие арифметики?
Ответ: $\ln \ln \ln \ln \ln ...$"
какие еще варианты есть?!

[Kallikanzarid]

Sonic86

(Оффтоп)

Серр, "Курс арифметики"