Порядок орбиты действия нормальной подгруппы

[kkl]

Здравствуйте!

Верно ли мое доказательство такого факта:

Пусть H - нормальная подгруппа в G,G действует на множестве X (пусть будет левое действие), и x принадлежит X. Доказать, что порядок орбиты Hx делит порядок орбиты Gx.

Док-во:

H - нормальна, т. е. gHg^{-1}\subseteq H,\ gH\subseteq Hg

G разбивается на смежные классы по H, назовем их gH. Рассмотрим орбиты действия на x этих смежных классов.

Для произвольного g:
1. gx\in Hx \Rightarrow gHx\subseteq Hgx \subseteq Hx
2. gx\not\in Hx \Rightarrow ghx=h_1gx \not\in Hx,
иначе gx=h_1^{-1}hx, \ gx\in Hx, \ h_1^{-1}hx\not\in Hx,
противоречие

Таким образом, орбита gHx либо принадлежит орбите Hx, либо не пересекается с ней. Во втором случае gh_1x=gh_2x \Rightarrow h_1x=h_2x, то есть мощности орбит Hx и gHx равны. Следовательно, орбита Gx состоит из некоторого количества непересекающихся орбит gHx. Значит, мощность Hx делит мощность Gx.


Может быть, можно проще? Если да, то как.

Спасибо.

[bnovikov]

Это удобнее делать с помощью стабилизатора элемента.
Определение:

${\rm St}_G(x)=\{g\in G| gx=x\}$

Свойства:

$|G(x)|=[G:{\rm St}_G(x)]$

${\rm St}_H(x)={\rm St}_G(x)\cap H$