2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 10:51 
Аватара пользователя
Здравствуйте!
Нужно вычислить такую сумму:
$S_{n}=(C_{n}^{0})^2-(C_{n}^{1})^2+(C_{n}^{2})^2-(C_{n}^{3})^2+...+(-1)^n(C_{n}^{n})^2$.
Вот моя попытка решения:
Пусть $n$-нечетное, т.е. $n=2m+1$. Тогда получаем:
$S_{2m+1}=(C_{2m+1}^{0})^2-(C_{2m+1}^{1})^2+(C_{2m+1}^{2})^2-(C_{2m+1}^{3})^2+...+(C_{2m+1}^{2m})^2-(C_{2m+1}^{2m+1})^2=[(C_{2m+1}^{0})^2+(C_{2m+1}^{1})^2+(C_{2m+1}^{2})^2+(C_{2m+1}^{3})^2+...+(C_{2m+1}^{2m})^2+(C_{2m+1}^{2m+1})^2]-2[(C_{2m+1}^{1})^2+(C_{2m+1}^{3})^2+...+(C_{2m+1}^{2m+1})^2]$
Так как

$(C_{2m+1}^{0})^2+(C_{2m+1}^{1})^2+(C_{2m+1}^{2})^2+(C_{2m+1}^{3})^2+...+(C_{2m+1}^{2m})^2+(C_{2m+1}^{2m+1})^2=C_{2(2m+1)}^{2m+1}=C_{4m+2}^{2m+1}$.
Получаем, что:
$S_{2m+1}=C_{4m+2}^{2m+1}-2[(C_{2m+1}^{1})^2+(C_{2m+1}^{3})^2+...+(C_{2m+1}^{2m+1})^2]$.
Далее применяя тождество: $C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}$ получаем:
$S_{2m+1}=C_{4m+2}^{2m+1}-2[(C_{2m}^{0}+C_{2m}^{1})^2+(C_{2m}^{2}+C_{2m}^{3})^2+...+(C_{2m}^{2m-2}+C_{2m}^{2m-1})^2+(C_{2m}^{2m})^2]=C_{4m+2}^{2m+1}-2[(C_{2m}^{0})^2+(C_{2m}^{1})^2+(C_{2m}^{2})^2+(C_{2m}^{3})^2+...+(C_{2m}^{2m-1})^2+(C_{2m}^{2m})^2+2C_{2m}^{0}C_{2m}^{1}+2C_{2m}^{2}C_{2m}^{3}+...+2C_{2m}^{2m-2}C_{2m}^{2m-1}]=C_{4m+2}^{2m+1}-2[C_{4m}^{2m}+P(m)]$
$P(m)=2C_{2m}^{0}C_{2m}^{1}+2C_{2m}^{2}C_{2m}^{3}+...+2C_{2m}^{2m-2}C_{2m}^{2m-1}$.
Как уже найти $P(m)$?
P.S. Если у кого-нибудь есть другое решение, предлагайте. Буду очень рад прочитать.

 
 
 
 Re: Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 11:04 
Не знаю, насколько оптимально все решение, но сумму $P(m)$ можно попытаться найти с помощью свертки Вандермонда:
$$\sum\limits_k C_r^k C_s^{n-k} = C_{r+s}^n$$

 
 
 
 Re: Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 11:05 
Аватара пользователя
Ну начнем с того, если $n$ нечетно, то $S_n = 0$, что совершенно очевидно и далеко ходить не надо. Ибо каждому слагаемому по противоположной паре...

 
 
 
 Re: Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 11:07 
Аватара пользователя
Да решение действительно громоздкое. Но ничего по-лучше я не смог найти. :-(

-- Чт авг 18, 2011 11:08:26 --

ShMaxG в сообщении #476018 писал(а):
Ну начнем с того, если $n$ нечетно, то $S_n = 0$, что совершенно очевидно и далеко ходить не надо. Ибо каждому слагаемому по противоположной паре...

Да да ShMaxG Вы правы. Вот я ступил. :-)

 
 
 
 Re: Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 11:09 
Аватара пользователя
Рассмотрите произведение биноминальных рядов для $(e^{ix}+1)^n$ и $(e^{-ix}-1)^n$, и проинтегрируйте почленно по $x$ от 0 до $2\pi$.

 
 
 
 Re: Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 11:19 
Аватара пользователя
Для случая, когда $n$-нечетное показали, что $S_n=0$. А для случая когда $n$-четное никаких мыслей пока нет.

 
 
 
 Re: Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 13:12 
Аватара пользователя
Я рассмотрел эту задачу по-другому:
$(1+x)^n$ и $(1-x)^n$ раскрыл по биному Ньютона и нашел коэффициент, стоящий перед $x^n$ в произведении $(1+x)^n(1-x)^n$. И так далее.
При $n=2m$ четном получается $(-1)^mC_{2m}^{m}$, а при $n=2m+1$ получается ноль.

Спасибо всем за помощь.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group