2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 10:51 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Здравствуйте!
Нужно вычислить такую сумму:
$S_{n}=(C_{n}^{0})^2-(C_{n}^{1})^2+(C_{n}^{2})^2-(C_{n}^{3})^2+...+(-1)^n(C_{n}^{n})^2$.
Вот моя попытка решения:
Пусть $n$-нечетное, т.е. $n=2m+1$. Тогда получаем:
$S_{2m+1}=(C_{2m+1}^{0})^2-(C_{2m+1}^{1})^2+(C_{2m+1}^{2})^2-(C_{2m+1}^{3})^2+...+(C_{2m+1}^{2m})^2-(C_{2m+1}^{2m+1})^2=[(C_{2m+1}^{0})^2+(C_{2m+1}^{1})^2+(C_{2m+1}^{2})^2+(C_{2m+1}^{3})^2+...+(C_{2m+1}^{2m})^2+(C_{2m+1}^{2m+1})^2]-2[(C_{2m+1}^{1})^2+(C_{2m+1}^{3})^2+...+(C_{2m+1}^{2m+1})^2]$
Так как

$(C_{2m+1}^{0})^2+(C_{2m+1}^{1})^2+(C_{2m+1}^{2})^2+(C_{2m+1}^{3})^2+...+(C_{2m+1}^{2m})^2+(C_{2m+1}^{2m+1})^2=C_{2(2m+1)}^{2m+1}=C_{4m+2}^{2m+1}$.
Получаем, что:
$S_{2m+1}=C_{4m+2}^{2m+1}-2[(C_{2m+1}^{1})^2+(C_{2m+1}^{3})^2+...+(C_{2m+1}^{2m+1})^2]$.
Далее применяя тождество: $C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}$ получаем:
$S_{2m+1}=C_{4m+2}^{2m+1}-2[(C_{2m}^{0}+C_{2m}^{1})^2+(C_{2m}^{2}+C_{2m}^{3})^2+...+(C_{2m}^{2m-2}+C_{2m}^{2m-1})^2+(C_{2m}^{2m})^2]=C_{4m+2}^{2m+1}-2[(C_{2m}^{0})^2+(C_{2m}^{1})^2+(C_{2m}^{2})^2+(C_{2m}^{3})^2+...+(C_{2m}^{2m-1})^2+(C_{2m}^{2m})^2+2C_{2m}^{0}C_{2m}^{1}+2C_{2m}^{2}C_{2m}^{3}+...+2C_{2m}^{2m-2}C_{2m}^{2m-1}]=C_{4m+2}^{2m+1}-2[C_{4m}^{2m}+P(m)]$
$P(m)=2C_{2m}^{0}C_{2m}^{1}+2C_{2m}^{2}C_{2m}^{3}+...+2C_{2m}^{2m-2}C_{2m}^{2m-1}$.
Как уже найти $P(m)$?
P.S. Если у кого-нибудь есть другое решение, предлагайте. Буду очень рад прочитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 11:04 
Заслуженный участник


08/04/08
8504
Не знаю, насколько оптимально все решение, но сумму $P(m)$ можно попытаться найти с помощью свертки Вандермонда:
$$\sum\limits_k C_r^k C_s^{n-k} = C_{r+s}^n$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 11:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2552
Физтех
Ну начнем с того, если $n$ нечетно, то $S_n = 0$, что совершенно очевидно и далеко ходить не надо. Ибо каждому слагаемому по противоположной паре...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 11:07 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Да решение действительно громоздкое. Но ничего по-лучше я не смог найти. :-(

-- Чт авг 18, 2011 11:08:26 --

ShMaxG в сообщении #476018 писал(а):
Ну начнем с того, если $n$ нечетно, то $S_n = 0$, что совершенно очевидно и далеко ходить не надо. Ибо каждому слагаемому по противоположной паре...

Да да ShMaxG Вы правы. Вот я ступил. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 11:09 
Аватара пользователя


09/08/11
133
СПб
Рассмотрите произведение биноминальных рядов для $(e^{ix}+1)^n$ и $(e^{-ix}-1)^n$, и проинтегрируйте почленно по $x$ от 0 до $2\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 11:19 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Для случая, когда $n$-нечетное показали, что $S_n=0$. А для случая когда $n$-четное никаких мыслей пока нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление суммы [Комбинаторика]
Сообщение18.08.2011, 13:12 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Я рассмотрел эту задачу по-другому:
$(1+x)^n$ и $(1-x)^n$ раскрыл по биному Ньютона и нашел коэффициент, стоящий перед $x^n$ в произведении $(1+x)^n(1-x)^n$. И так далее.
При $n=2m$ четном получается $(-1)^mC_{2m}^{m}$, а при $n=2m+1$ получается ноль.

Спасибо всем за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group