Система квадратных уравнений с тремя переменными

[dashapdv]

Подскажите как решить такую систему:

$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}t_1^2+a_{22}t_2^2+a_{33}t_3^2+a_{12}t_1t_2+a_{23}t_2t_3+a_{13}t_1t_3+a_1t_1+a_2t_2+a_3t_3+a_0 = 0\\ b_{11}t_1^2+b_{22}t_2^2+b_{33}t_3^2+b_{12}t_1t_2+b_{23}t_2t_3+b_13t_1t_3+b_1t_1+b_2t_2+b_3t_3+b_0 = 0\\c_{11}t_1^2+c_{22}t_2^2+c_{33}t_3^2+c_{12}t_1t_2+c_{23}t_2t_3+c_{13}t_1t_3+c_1t_1+c_2t_2+c_3t_3+c_0 = 0 \end{array} \right\ $

$t_1,t_2,t_3 > 0$

Эта система должна решаться в программе с различными коэффициентами. Как это можно было бы сделать? Методы вроде метода Ньютона требуют выбора начального приближенеия достаточно близко к решению, что, наверное, не реализуемо. Можно было бы попытаться привести "повехности" к каноническому виду, но там слишком много разных вариантов видов уравнений.

[ИСН]

С двумя я бы обошёлся просто: выяснить, какая их линейная комбинация даст вырожденную кривую, а там уж ясно.
Но тут...

[Sender]

ИСН в сообщении #475822 писал(а):

С двумя я бы обошёлся просто: выяснить, какая их линейная комбинация даст вырожденную кривую, а там уж ясно.
Но тут...

Почему бы не поступить так же, временно исключив третье уравнение из рассмотрения?

[ИСН]

Потому что это (ну, если ещё временно зафиксировать третью переменную, чтобы не мешалась) нам даст всего лишь какую-то точку на пересечении первых двух поверхностей. И что?

[mserg]

Интервальный анализ + какой-нибудь локальный метод

[ewert]

dashapdv в сообщении #475803 писал(а):

Методы вроде метода Ньютона требуют выбора начального приближенеия достаточно близко к решению, что, наверное, не реализуемо.

Просуммируйте квадраты левых частей и найдите начальное приближение для минимума этой суммы, например, методом градиентного спуска. (Другое дело, что заранее неизвестно, на какое конкретно из решений этот метод выбросит, но на какое-то уж точно выбросит.)

[Sender]

Кстати, вот ссылка по теме: http://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6bner_basis. Правда, неясно, что делать, если решений окажется континуум.

[dashapdv]

Цитата:

Просуммируйте квадраты левых частей и найдите начальное приближение для минимума этой суммы, например, методом градиентного спуска. (Другое дело, что заранее неизвестно, на какое конкретно из решений этот метод выбросит, но на какое-то уж точно выбросит.)

Вот за это спасибо!

Цитата:

Кстати, вот ссылка по теме: http://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6bner_basis. Правда, неясно, что делать, если решений окажется континуум.

Про базисы Гребнера я раньше не слышала. Попытаюсь разобраться.

Ну и вообще спасибо всем, кто ответил.