интегрирование в квадратурах

[Oleg Zubelevich]

Система $\dot x=v(x),\quad x\in \mathbb{R}^3$
имеет инвариантную форму объема $dV=f(x)dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3,\quad f>0,\quad \mathrm{div}\,fv=0$ и поле симметрий $u(x),\quad [u,v]=0$. Известно, что $\mathrm{div}\,fu\ne \mathrm{const}\,f$. Доказать, что система интегрируется в квадратурах.

scwec -- тсс-с

[scwec]

Раз автор задачи не хочет, чтобы я давал ответ, то предлагаю для решения простую задачу, впрочем, для обеих метод решения можно выбрать один и тот же.
Пусть гладкие поля $u,v$ заданы на $\mathbb{ R}^3$, $[u,v]=\lambda(x,y,z)u$, $\lambda\ne\operatorname{const}$, $\operatorname{div}(u)=0$, $\operatorname{div}(v)=0$. Тогда $u$ интегрируется в квадратурах.

[scwec]

Напишем равенство, справедливое для любых размерностей. Из него будет следовать ответ на обе задачи.
Пусть $X,Y$ - два векторных поля, определенных на $\mathbb{R}^n$.
Предположим
1. $[X,Y]=\lambda(x){X}$, $x\in\mathbb{R}^n$
2. Существует множитель Якоби $M{(x)}>0$ для $X$.
Тогда интересующее нас равенство: $X(\lambda(x)-\frac{\operatorname{div}(MY)}{M})=0$. $(1)$
Если $n=3$, то при существовании множителя Якоби для полной интеграции нужен только один первый интеграл.
Первая задача: $v=X$, $f=M$, $\lambda=0$, $u=Y$. Из $(1)$ следует, что первый интеграл $V=\frac{\operatorname{div}(fu)}{f}\ne{\operatorname{const}}$. $v(V)=0$.
Вторая задача: $u=X$, $v=Y$, $M=1$. Из $(1)$ следует, что первый интеграл $V=\lambda(x)\ne{\operatorname{const}}$. $u(V)=0$.
Остается доказать справедливость $(1)$.

[scwec]

Привожу доказательство $(1)$ из предыдущего сообщения. Из него следуют решения первой и второй задач. Обозначения сохраняются.
Из существования множителя Якоби для $X$ следует, что $\operatorname{div}(MX)=0$.
Вычисляем (принимая во внимание, что $[X,Y]=\lambda{X}$,) $[MX,Y]=M[X,Y]-Y(M)X=(M\lambda-Y(M))X=({\lambda}-\frac{Y(M)}{M})MX\qquad(2)$.
Применяя известную формулу $\operatorname{div}([MX,Y])=MX(\operatorname{div}Y)-Y(\operatorname{div}MX)=MX(\operatorname{div}Y)\qquad(3)$.
С другой стороны из $(2)$ следует, что $\operatorname{div}[MX,Y]=\operatorname{div}(({\lambda}-\frac{Y(M)}{M}){MX})=MX({\lambda}-\frac{Y(M)}{M})\qquad(4)$.
Вычитая из равенства$(4)$ равенство $(3)$ получаем: $MX(\lambda-\frac{Y(M)}{M}-\operatorname{div}Y)=0$. Окончательно $X(\lambda-\frac{\operatorname{div}(MY)}{M})=0$