Лемма о вложенных отрезках для рациональных чисел

[ean]

Проверьте пожалуйста решение.
Нужно показать, что лемма о вложенных отрезков не выполняется для рациональных чисел.
Формулировка леммы: для любой последовательности $I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset ...$ вложенных отрезков найдётся точка $c \in \mathbb{R}$, принадлежащая всем этим отрезкам. Если, кроме того, известно, что для любого $\varepsilon > 0$ в последовательности можно найти отрезок $I_k$, длина которого $\left\vert I_k \right\vert < \varepsilon$, то $c$ - единственная общая точка всех отрезков.
Итак. Рассматриваем следующую систему вложенных отрезков в $\mathbb{R}$: $\left[\sqrt{2} - \frac{1}{n}; \sqrt{2} + \frac{1}{n}\right]$. Для этой системы отрезков найдётся единственная точка, принадлежащая всем отрезком - это $\sqrt{2}$.
Теперь выбрасываем из этих отрезков все не рациональные числа, в том числе выбросили и $\sqrt{2}$, следовательно лемма не выполняется для этих вложенных отрезках в $\mathbb{Q}$.
У меня вопрос, могу ли я рассматривать эти отрезки в $\mathbb{Q}$? Границы у них явно не рациональные.

[alcoholist]

ean в сообщении #475615 писал(а):

У меня вопрос, могу ли я рассматривать эти отрезки в $\mathbb{Q}$?

Смотря что называть "отрезком" в $\mathbb{Q}$. Наверное все-таки множества вида $[p;q]=\{x\in\mathbb{Q}:p\le x\le q\}$, $p,q\in\mathbb{Q}$.

Просто возьмите возрастающую последовательность рациональных чисел $\{q_n\}$, сходящуюся к $\sqrt{2}$, и рассмотрите отрезки $[q_n;q_n+1/n]$

[ewert]

ean в сообщении #475615 писал(а):

Границы у них явно не рациональные.

Вот именно; поэтому и не можете. Рассмотрите последовательность отрезков $[q_n^-;q_n^+]$, где $q_n^{\pm}$ -- это $n$-разрядные десятичные приближения корня из двух с недостатком и с избытком. Более формально: $10^n\cdot q_n^-$ -- это наибольшее из натуральных чисел, квадрат которых не превосходит $2\cdot10^{2n}$ и, соответственно, $q_n^+=q_n^-+10^{-n}$.

alcoholist в сообщении #475618 писал(а):

Просто возьмите возрастающую последовательность рациональных чисел $\{q_n\}$, сходящуюся к $\sqrt{2}$, и рассмотрите отрезки $[q_n;q_n+1/n]$

Не так лихо. А с какой конкретно скоростью та последовательность возрастает?...

[alex1910]

alcoholist в сообщении #475618 писал(а):

ean в сообщении #475615 писал(а):

У меня вопрос, могу ли я рассматривать эти отрезки в $\mathbb{Q}$?

Смотря что называть "отрезком" в $\mathbb{Q}$. Наверное все-таки множества вида $[p;q]=\{x\in\mathbb{Q}:p\le x\le q\}$, $p,q\in\mathbb{Q}$.

Просто возьмите возрастающую последовательность рациональных чисел $\{q_n\}$, сходящуюся к $\sqrt{2}$, и рассмотрите отрезки $[q_n;q_n+1/n]$

Такая последовательность не обязана быть вложенной. Так что возьмите что-то, заведомо вложенное, например левые и правые рац. приближения к корню из двух.

Или разберите задачу по сути - докажите, что если лемма верна, то Q полно.

[ewert]

alex1910 в сообщении #475624 писал(а):

Так что возьмите что-то, заведомо вложенное, например левые и правые рац. приближения к корню из двух.

Тоже так легкомысленно не пройдёт. В каком смысле "приближения"?... Скажем, $[\frac{m_n^}{n};\frac{m_n+1}{n}]$ тоже не обязаны быть вложенными.

[nnosipov]

Для любителей экзотики: можно взять отрезки вида $[P_{2n}/Q_{2n};P_{2n+1}/Q_{2n+1}]$, где $P_m/Q_m$ обозначает $m$-ю подходящую дробь к числу $\sqrt{2}$.

[alcoholist]

alex1910 в сообщении #475624 писал(а):

Такая последовательность не обязана быть вложенной

согласен

спасибо

[alex1910]

ewert в сообщении #475626 писал(а):

alex1910 в сообщении #475624 писал(а):

Так что возьмите что-то, заведомо вложенное, например левые и правые рац. приближения к корню из двух.

Тоже так легкомысленно не пройдёт. В каком смысле "приближения"?... Скажем, $[\frac{m_n^}{n};\frac{m_n^+1}{n}]$ тоже не обязаны быть вложенными.

Разумеется, приближения надо брать заведомо вложенные. Вариантов это сделать - миллион - любые две монотонные рациональные последовательности, сходящиеся к корню, одна растет, другая убывает - спасут гиганта мысли.

Если Вам непременно нужна точная формула - возьмите, например, приближения цепными дробями.

UPD. Про цепные дроби уже написали пару постов тому назад.

[ewert]

alex1910 в сообщении #475624 писал(а):

Или разберите задачу по сути - докажите, что если лемма верна, то Q полно.

Во-первых, смысл задания именно в том, чтобы построить контрпример напрямую. Во-вторых: а что в точности понимается под "полнотой"?... Тут много вариантов эквивалентных определений, утверждение о вложенных отрезках -- как раз один из них.

alex1910 в сообщении #475631 писал(а):

любые две монотонные рациональные последовательности, сходящиеся к корню, одна растет, другая убывает - спасут гиганта мысли.

Они, может, и спасли бы. Но -- только если предъявить их явно. Не забывайте, что и корня из двух-то пока что нет, так что даже и про сходимость говорить пока что, строго говоря, бессмысленно.

[alex1910]

ewert в сообщении #475634 писал(а):

alex1910 в сообщении #475624 писал(а):

Или разберите задачу по сути - докажите, что если лемма верна, то Q полно.

Во-первых, смысл задания именно в том, чтобы построить контрпример напрямую. Во-вторых: а что в точности понимается под "полнотой"?... Тут много вариантов эквивалентных определений, утверждение о вложенных отрезках -- как раз один из них.

alex1910 в сообщении #475631 писал(а):

любые две монотонные рациональные последовательности, сходящиеся к корню, одна растет, другая убывает - спасут гиганта мысли.

Они, может, и спасли бы. Но -- только если предъявить их явно. Не забывайте, что и корня из двух-то пока что нет, так что даже и про сходимость говорить пока что, строго говоря, бессмысленно.

Конструктивист Вы наш.

1. Если человек не в состоянии доказать, что между любыми двумя действ. числами можно "засунуть" рациональное - он ничего не понял про действительные числа. Если может - существование необходимых последовательностей докажет (не конструктивно, а именно как "теорему существования") на раз-два-три.

2. Полнота - это всегда одно и то же: когда все последовательности Коши (фундаментальные последовательности) сходятся.

В случае R есть три общеупотребительных эквивалентных критерия полноты:

существование разделяющей точки, лемма о вложенных отрезках, существование супремума у ограниченного сверху множества.

При желании, можно придумать еще десяток экзотических эквивалентных критериев, все более и более навороченных.

Если человек не в состоянии доказать их (трех общеупотребительных) эквивалентность - он опять же не понял, что такое R.

3. Если, вдруг, Q окажется полно - на кой нам сдалось строить R?

А если просто играть с формулками приближений, то полученные результаты будут восприниматься оторванными от контекста, фокусом, уличной магией.

Так что это тот редкий случай, когда конструктивизм вреден.

[nnosipov]

alex1910 в сообщении #475635 писал(а):

Так что это тот редкий случай, когда конструктивизм вреден.

В данном случае --- это хорошее упражнение для первокурсников, им полезно и с формулами поиграться. Да и ещё один повод изучить что-нибудь полезное типа аппарата цепных дробей.

[alex1910]

nnosipov в сообщении #475636 писал(а):

alex1910 в сообщении #475635 писал(а):

Так что это тот редкий случай, когда конструктивизм вреден.

В данном случае --- это хорошее упражнение для первокурсников, им полезно и с формулами поиграться. Да и ещё один повод изучить что-нибудь полезное типа аппарата цепных дробей.

Ребята, Вы что-ли сговорились? :)

Это - одно из немногих мест, где "студент - не математик" может ощутить, что доказательства не обязательно бывают конструктивными. И уж точно, доказательство, использующее меньший аппарат, в данном образовательном случае будет лучшим.

А цепные дроби изучить можно, желательно в школе, но только в более полезном контексте.

[nnosipov]

Я имел в виду "студентов-математиков", их же работе с формулами надо учить. Почему бы и не таким образом (но, конечно, не только таким).

[ewert]

alex1910 в сообщении #475635 писал(а):

В случае R есть три общеупотребительных эквивалентных критерия полноты:существование разделяющей точки, лемма о вложенных отрезках, существование супремума у ограниченного сверху множества.

Вот именно. И любой из критериев, естественно, вполне может служить исходным определением. И, между прочим, очень даже служат -- далеко не все аксиомой полноты называют справедливость именно критерия Коши. Так что при выборе соответствующего варианта этой аксиомы Ваше замечательное доказательство от противного будет выглядеть примерно так:

"Итак, нам надо доказать, что найдётся последовательность вложенных отрезков, пересечение которых пусто. Известно, что множество рациональных чисел не полно. Т.е. в нём найдётся последовательность вложенных отрезков, пересечение которых пусто. Но тогда обязательно найдётся последовательность вложенных отрезков, пересечение которых пусто. Ч.т.д."

Вы этому собираетесь детишек учить, да?...

alex1910 в сообщении #475635 писал(а):

Если человек не в состоянии доказать, что между любыми двумя действ. числами можно "засунуть" рациональное - он ничего не понял про действительные числа.

Ой напрасно Вы вот это конкретно написали. Мало того, что это не имеет ни малейшего отношения к исходной задаче, так оно ещё не имеет отношения и к специфике именно действительных чисел.

Напомню: неполнота рациональных чисел в смысле вложенных отрезков -- это вещь в себе, и вполне элементарная, поэтому доказывать её, опираясь на свойства вещественных чисел, т.е. на возможность пополнения рациональных, попросту неприлично.

[bnovikov]

Возьмите любые положительные $x_0,y_0\in \mathbb{R}$, $x_0^2<2$, $y_0^2>2$. Дихотомией отрезка $[x_0,y_0]$ выберите такие отрезки $[x_n,y_n]$, что $x_n^2<2$, $y_n^2>2$. Это и будет нужная последовательность.