Шутить изволите,
Dimoniada. Конечно написал чушь собачью - невнимательно прочитал условие. Но ведь в главном я, все-таки, прав – ответ-то у меня верный!
Вот "нормальное" решение.
Кратко:
В силу “принципа Ферма” вписанный в прямоугольник четырехугольник с минимальным периметром является параллелограммом. Полупериметр вписанного параллелограмма равен диагонали прямоугольника.
Подробно:
1. Основа решения - следующая знаменитая (хотя и простая) задача:
Найти на прямой точку, сумма расстояний от которой до двух фиксированных точек (лежащих по одну сторону от нее) минимальна. Ответ может быть сформулирован так: искомая точка удовлетворяет условию "угол падения равен углу отражения".
(Этой задачей обычно на основе элементарной геометрии иллюстрируют общий принципа Ферма
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0. Доказательство основано на методе отражения, и изложено, например, в
http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/04/39.pdf, Пример 1.)
2. Следствие: Пусть одна из вершин четырехугольника фиксирована на стороне прямоугольника. Тогда выбор трех остальных вершин (лежащих на трех других сторонах прямоугольника) таким образом, чтобы получился четырехугольник минимального периметра, равносилен выполнению условия «угол падения равен углу отражения» в каждой из четырех вершин четырехугольника по отношению к соответствующей стороне прямоугольника.
Физическая аналогия: Траектория луча света (или бильярдного шара), запускаемого из любой точки на стороне прямоугольника, после трех отражений от других сторон прямоугольника и вернувшегося в исходную точку. Нетрудно видеть, что эта траектория будет периодической. 3. Другими словами, четырехугольник, обладающий минимальным периметром – вписанный параллелограмм. Ну а полупериметр вписанного в прямоугольник параллелограмма
равен диагонали прямоугольника. Все остальные вписанные четырехугольники, отличающиеся от параллелограммов, имеют, естественно,
больший полупериметр. (Периметр произвольного, вписанного в прямоугольник параллелограмма можно найти как несложным тригонометрическим расчетом, так и на основе чисто геометрических соображений).
Обсуждение.
Для придания изложенному решению полной строгости отметим два момента:
Проблема вырождения. Что, если первая из вершин вписанного четырехугольника попадает в вершину прямоугольника? Эта проблема разрешается рассмотрением двух «бесконечно близких» вершин четырехугольника на смежных сторонах прямоугольника вместо одной вырожденной. Принцип «угол падения равен углу отражения» работает и здесь. В результате минимальный по периметру вырожденный «четырехугольник» будет вырожденным «параллелограммом», совпадающим с диагональю прямоугольника. Таким образом, он имеет тот же самый полупериметр, что и любой невырожденный вписанный параллелограмм.
Проблема существования. Фактически принцип «угол падения равен углу отражения» позволил нам утверждать следующее: если во вписанном четырехугольнике хотя бы на одной стороне не выполнено условие «угол падения равен углу отражения», то немного подвигая эту вершину периметр можно уменьшить, а значит, такой четырехугольник не является минимальным по периметру. А периметр вписанного параллелограмма улучить оказалось невозможным, откуда и был сделан вывод о минимуме его периметра.
Эта аргументация предполагает с самого начала существование (хотя бы одного) вписанного четырехугольника минимального периметра (на самом деле, мы утверждаем, что их оказалось бесконечно много). Строгое доказательство существования опирается здесь на теорему Кантора (Вейерштрасса) о достижении экстремума непрерывной функции [в данном случае – периметра] на компактном множестве [в данном случае – на замкнутом, ограниченном множестве вершин вписанных четырехугольников в четырехмерном пространстве]. Для замкнутости этого множества и требуется включение в него вырожденных ситуаций, а ограниченность множества очевидна, т.к. вершины четырехугольника находятся на сторонах (ограниченного) прямоугольника.
==============
Вообще используемая в изложенном выше решении аргументация по сути идентична аргументации Зенодора-Штейнера в решении задачи Дидоны, и имеет те же проблемы с обоснованием. Круг этих вопросов обсуждается, например, в книге Тихомирова из библиотечки Кванта «Рассказы о максимумах и минимумах».
: 
.