Сумма двух логистистических распеределений

[alxkolm]

Подскажите, есть ли формула для суммы двух переменных, распределенных по логистическому закону?
Т.е., если
$X \sim Logistic(\mu, s)$
$Y \sim Logistic(\mu_2, s_2)$,
то
$Z = X +Y \sim~?$

[vladiko]

Насчёт формулы не знаю, но могу предложить посчитать свёртку в каком нибудь матпакете. $f_{X+Y}(z)=f_X*f_Y(z)$

[alxkolm]

Спасибо за совет.

Запустил в Mathematica 8 вот такую команду (т.е. свертка двух плотностей распределения):

Z = Integrate[PDF[LogisticDistribution[mu1, s1], x]*PDF[LogisticDistribution[mu2, s2], x - t], {t, -Infinity, Infinity}]

и получил ответ:
$Z(x) = \frac{e^{\frac{\text{mu1}+x}{\text{s1}}}}{\left(e^{\text{mu1}/\text{s1}}+e^{\frac{x}{\text{s1}}}\right)^2 \text{s1}}$.

Странно, что в формуле не фигурируют параметры $mu2$ и $s2$ (т.е. параметры второго распределения). Единственное условие выданное Mathematic'ой это $s2 > 0$.

Что-то меня это смущает. Надо будет проверить эмпирически.

-- Пн авг 15, 2011 20:51:03 --

Понятно, что смущало. Я формулу свертки не правильно написал.
А правильная формула, по всей видимости, решаться не торопится:

Integrate[PDF[LogisticDistribution[mu1, s1], t]*PDF[LogisticDistribution[mu2, s2], x - t], {t, -Infinity, Infinity}

-- Пн авг 15, 2011 17:02:16 --

Да, такой интеграл Mathematica не осиливает:
$\int_{-\infty }^{\infty } \frac{e^{-\frac{t-\text{$\mu $1}}{\text{s1}}-\frac{-t+x-\text{$\mu $2}}{\text{s2}}}}{\left(1+e^{-\frac{t-\text{$\mu $1}}{\text{s1}}}\right)^2 \left(1+e^{-\frac{-t+x-\text{$\mu $2}}{\text{s2}}}\right)^2 \text{s1} \text{s2}} \, dt$

[Евгений Машеров]

А хотя бы для частного случая, t=0, s=1, интегрирует?

[alxkolm]

Евгений Машеров в сообщении #475471 писал(а):

А хотя бы для частного случая, t=0, s=1, интегрирует?

Для случая $mu1 = mu2 = 0$ и $s1 = s2 = 1$ интегрируется, т.е.:

$Z(x) = Logistic(0,1) + Logistic(0,1) = \frac{e^x \left(2-2 e^x-\left(1+e^x\right) \text{Log}\left[1+e^{-x}\right]+\left(1+e^x\right) \text{Log}\left[1+e^x\right]\right)}{\left(-1+e^x\right)^3}$

[Евгений Машеров]

Ну, $\mu_{1,2} \neq 0$ это просто сдвиг. Как и $s_{1,2} \neq 1$
Видимо, трудность лишь при неравных параметрах масштаба. Вплоть до неберущихся интегралов...

[alxkolm]

Евгений Машеров в сообщении #475474 писал(а):

Ну, $\mu_{1,2} \neq 0$ это просто сдвиг. Как и $s_{1,2} \neq 1$
Видимо, трудность лишь при неравных параметрах масштаба. Вплоть до неберущихся интегралов...

Я не очень силен в математике.
То что $\mu_{1,2} \neq 0$ это я понимаю и смогу из $Logistic(0,1)$ получить $Logistic(\mu)$ путем просто сложения $Logistic(0,1) + \mu$.
А как получить из $Logistic(0,1)$, например $Logistic(0,2)$ ?

Кстати, $\mu_{1,2} = 0, s_1=1, s_2=2$ тоже интегрируется:

$Z(x) = Logistic(0,1) + Logistic(0,2) = \frac{e^{3 x/2} \left(8 \text{Cosh}\left[\frac{x}{2}\right]+\pi (-3+\text{Cosh}[x])+8 \left(\text{Log}\left[1+e^{-x/2}\right]-\text{Log}\left[1+e^{x/2}\right]\right) \text{Sinh}\left[\frac{x}{2}\right]\right)}{2 \left(1+e^x\right)^3}$

-- Пн авг 15, 2011 19:53:40 --

Ухты, интегрируется случай $\mu_{1,2}=0, s_1=s_2=s$ т.е.:

$Logistic(0,s)+Logistic(0,s) = \frac{\text{Csch}\left[\frac{x}{2 s}\right]^2 \left(-2+\text{Coth}\left[\frac{x}{2 s}\right] \text{Log}\left[e^{\frac{x}{s}}\right]\right)}{4 s}$

-- Пн авг 15, 2011 20:10:03 --

А вот и случай $\mu_1 = \mu_2 = \mu, ~s_1=s_2=s$:

$Logistic(\mu,s)+Logistic(\mu,s) = -\frac{e^{\frac{x+2 \mu }{s}} \left(2 e^{\frac{x}{s}}-2 e^{\frac{2 \mu }{s}}-\left(e^{\frac{x}{s}}+e^{\frac{2 \mu }{s}}\right) \text{Log}\left[e^{\frac{x}{s}}\right]+2 \left(e^{\frac{x}{s}}+e^{\frac{2 \mu }{s}}\right) \text{Log}\left[e^{\frac{\mu }{s}}\right]\right)}{\left(e^{\frac{x}{s}}-e^{\frac{2 \mu }{s}}\right)^3 s}$

[Евгений Машеров]

$Logistic(x; \mu, s)=Logistic(\frac{x-\mu} {s};0,1)$

[Евгений Машеров]

В общем, можно рассмотреть случай суммы
$Logistic(x;0,1)+Logistic(x;0,s)$
к которому более общий просто сводится.
Я попытался "ручками", замена переменных $y=e^{-t}$, но дальше заклинило. Не знаю, то ли виной мои лень и неквалифицированность, то ли действительно в общем виде не интегрируется.

[alxkolm]

Евгений Машеров в сообщении #475578 писал(а):

$Logistic(x; \mu, s)=Logistic(\frac{x-\mu} {s};0,1)$

Спасибо, полезный факт

-- Вт авг 16, 2011 11:58:17 --

Мне, оказывается, надо сложить много переменных с логистическим распределением.
А свертка $(f_1*f_2)*f_3$ уже не берется.

Я эмпирически выяснил, что сумма переменных с логистическим распредением, при большом их количестве, стремится к нормальному распределению.

-- Вт авг 16, 2011 12:09:07 --

Примерно так:

$\sum\limits_nLogistic(0,s) \sim N(0,n \frac {\pi^2 s^2} 3)$, при большом $n$

[Евгений Машеров]

Ну, так через семиинварианты считайте. Для числа слагаемых, стремящегося к бесконечности, докажете сходимость к нормальному, а для конечного числа (в том числе и с неравными параметрами) сможете аппроксимировать через разложение Эджворта.

[Евгений Машеров]

Якобы это ссылка на "Справочник по логистическому распределению" Балакришнана (на англ.)
http://depositfiles.com/ru/files/qjsbsjxea
Не проверял, то ли.

-- Вт авг 16, 2011 16:45:57 --

То, но свойств сумм там вроде нет.

[alxkolm]

Евгений Машеров в сообщении #475646 писал(а):

Якобы это ссылка на "Справочник по логистическому распределению" Балакришнана (на англ.)
http://depositfiles.com/ru/files/qjsbsjxea
Не проверял, то ли.

-- Вт авг 16, 2011 16:45:57 --

То, но свойств сумм там вроде нет.

Тоже не нашел.

-- Вт авг 16, 2011 19:45:12 --

Евгений Машеров в сообщении #475632 писал(а):

Ну, так через семиинварианты считайте. Для числа слагаемых, стремящегося к бесконечности, докажете сходимость к нормальному, а для конечного числа (в том числе и с неравными параметрами) сможете аппроксимировать через разложение Эджворта.

Я не в курсе как доказать сходимость к нормальному распределению.
Вычитал, что при сложении независимых случайных величин их семиинварианты складываются. У нормального распределения семиинвариантов всего два. Видимо надо доказать, что семиинварианты больше второго у логистического распределения стремятся к нулю.

Однако первые 15 семмиинваринтов логистического распределения равны

$$\mu ,\frac{\pi ^2 s^2}{3},0,\frac{2 \pi ^4 s^4}{15},0,\frac{16 \pi ^6 s^6}{63},0,\frac{16 \pi ^8 s^8}{15},0,\frac{256 \pi ^{10} s^{10}}{33},0,\frac{353792 \pi ^{12} s^{12}}{4095},0,\frac{4096 \pi ^{14} s^{14}}{3},0$$

что-то не смекну, как доказать

[Евгений Машеров]

Тут надо второе свойство семиинвариантов применить, что при умножении на a семиинвариант n-ного порядка умножается на $a^n$
При этом, очевидно, сумму n слагаемых надо приводить к равным матожиданиям и дисперсии. Матожидание, не теряя общности, положим нулём, а для нормирования дисперсии надо делить на $ \sqrt {n}$
Соответственно, семиинварианты порядка 2k делятся на $n^k$, а нечётного и без того ноль. При росте числа слагаемых n они стремятся к нулю, кроме второго (первый у нас ноль, как мы оговорили). То есть распределение стремится к нормальному.
Если число слагаемых конечно, то надо их вычислить (и там можно учесть разные s), и оценить близость (и если семиинварианты велики - то использовать разложения в ряд - Эджворта, Корниша-Фишера и т.п.).

[alxkolm]

А корректно использовать это второе свойство? Мы же вроде не умножаем, а складываем.
И что-то не дошло, почему

Цитата:

Соответственно, семиинварианты порядка 2k делятся на $n^k$, ...