Limit of sequence

[myra_panama]

Let $(x_n)_{n\ge 1}$ be a sequence of real numbers such that :

$\lim\limits_{n\to\infty}\, \left(x_{n+2}+2x_{n+1}+x_n\right)=0$ . Prove that : $\lim\limits_{n\to\infty}\, \frac {x_n}{n^2}=0$

[xmaister]

Если нигде не наврал, то можно делать в-лоб, по определнию предела. Сначало получилось, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}+x_n}{n}=0$, а отсюда опять по определению достал, что требуется

[myra_panama]

xmaister в сообщении #475166 писал(а):

Сначало получилось, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}+x_n}{n}=0$

Откуда так ... ?

[xmaister]

$-\epsilon <x_{n+2}+2x_{n+1}+x_n<\epsilon$
$-\epsilon<x_{n+3}+2x_{n+2}+x_{n+1}<\epsilon$
$-\epsilon<x_{n+4}+2x_{n+3}+x_{n+2}<\epsilon$


$-\epsilon<x_{n+k+2}+2x_{n+k+1}+x_{n+k}<\epsilon$
Отсюда $-2\epsilon<\frac{x_{n+k+2}+x_{n+k+1}}{k+1}<2\epsilon$. Вроде так.

[myra_panama]

Для : $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n+2}x_{n+2}}{(n+2)^2}$
Используя Теорему Штольца получим
$=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n+2}x_{n+2}-(-1)^{n+1}x_{n+1}}{(n+2)^2-(n+1)^2}$
$=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n+2}x_{n+2}-2(-1)^{n+1}x_{n+1}+(-1)^{n}x_{n}}{(n+2)^2-2(n+1)^2+n^2}$
$=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n}(x_{n+2}+2x_{n+1}+x_{n})}{2}=0$
Итак, $ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n}x_{n}}{n^2}=0 \rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{n^2}=0$

[xmaister]

Тоже вариант