Проверьте предел

[myra_panama]

Вычислить : $\lim\limits_{x\to\infty}x\cdot((\frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}}{2})^{x}-\sqrt{ab})$ , $a>0,b\ne 1$

(Моё решение)

имеем $ \lim\limits_{x\to\infty}(\frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}}{2})^{x}=\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}-2}{2})^{x}= \lim\limits_{x\to\infty}e^{\frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}-2}{2}\cdot x}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\frac{1}2[\frac{a^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}+\frac{b^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}]}=e^{\frac{1}2[\ln a+\ln b]}=\sqrt{a\cdot b} $
Так ,
$ \lim\limits_{x\to\infty}\ x\cdot\left[\left(\frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}}{2}\right)^{x}-\sqrt{ab}\right] =0 $

ну как это как : $\infty\cdot 0=0$

[Null]

Там не 0 получается, надо использовать ряды тейлора с точностью до $O(\frac{1}{x^2})$

[myra_panama]

Null в сообщении #474851 писал(а):

Там не 0 получается, надо использовать ряды тейлора с точностью до $O(\frac{1}{x^2})$

Черт понял Спасибо

-- Чт авг 11, 2011 13:13:17 --

Ну вот что у меня получилось:

$a^{\frac1{x}}+b^{\frac1{x}}=e^{\frac1{x}\ln a}+e^{\frac1{x}\ln b}=1+\frac1{x}\ln a+\frac1{2x^2}\ln^2 a+O(\frac1{x^2})+1+\frac1{x}\ln b+\frac1{x^2}\ln^2b+O(\frac1{x^2})=2+\frac1{x}\ln {(a\cdot b)}+\frac1{2x^2}(\ln^2a+\ln^2b)+O(\frac1{x^2})$

Отсюда,
$(\frac{a^{\frac1{x}}+b^{\frac1{x}}}2)^x=[1+(\frac1{x}\ln a\cdot b+\frac1{2x^2}(\ln^2a+\ln^2b)+O(\frac1{x^2}))]^{x}=e^{x\cdot\ln{(1+(\frac1{x}\ln a\cdot b+\frac1{2x^2}(\ln^2a+\ln^2b)})}=e^{x\cdot(\frac1{x}\ln a\cdot b+\frac1{2x^2}(\ln^2a+\ln^2b))}=\sqrt{a\cdot b}(1+\frac1{4x}(\ln^2a+\ln^2b))$

ну хоть хьтхьо отсюда...

$ \lim\limits_{x\to\infty}\ x\cdot\left[\left(\frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}}{2}\right)^{x}-\sqrt{ab}\right] $=$\lim\limits_{x\to\infty}x\cdot(\frac1{2x}(\ln^2a+\ln^2b))=\boxed{\frac12(\ln^2a+\ln^2b)}$

[Null]

Вы не аккуратно считаете и теряете O поэтому у вас еще выползает одна ошибка.

[AlexValk]

Неточность в равенстве $1+n\varepsilon+\frac12 m \varepsilon^2+O(\varepsilon^3)=e^{n\varepsilon+\frac12 m \varepsilon^2+O(\varepsilon^3)}$, которым Вы пользуетесь. При разложении экспоненты член второго порядка по $\varepsilon$ придет двумя путями, поэтому показатель экспоненты в члене второго порядка надо подкорректировать.

[myra_panama]

Нашел... отвеt:
$\dfrac{\sqrt{ab}}{8}\left[\ln\left(\dfrac{b}{a}\right)\right]^2$