теорема Ли

[Oleg Zubelevich]

scwec

спасибо за разъяснение,
книга здесь: http://www.rapidshare.ru/2685202 pass: dgfvbzdf

[scwec]

Для Oleg Zubelewich: ответное спасибо за книгу. Что и откуда следует я думаю обсудить на соседнем посте. Тем более, что основной результат там еще не формулировался.
Теперь по поводу наших дел. Обратите внимание в книге на последний абзац перед пунктом 4. на стр.79.
Он касается обобщения теоремы Ли. Вам он ничего не напоминает? Да. $[X_1,X_i]={\lambda_i}{X_1}$.
Только в книге $\lambda=\operatorname{const}$, а у нас $\lambda=\lambda(x)$.А первые интегралы все равно находятся, естественно, при соблюдении условий Вашей теоремы.

[scwec]

Следующее утверждение обобщает теорему Ли.
Пусть $g^n$ - алгебра Ли над $\mathbb{R}$ гладких линейно независимых векторных полей, заданных в области $U\subset\mathbb{R}^n$.
Ряд производных: $g^n\supset{D^{(1)}}g^n\supset{D^{(2)}}g^n{...}\supset{D^{(s)}}g^n\supset{D^{(s+1)}}g^n=(0)$.
Тогда любое поле из ${D^{(s)}}g^n$ в любой односвязной окрестности любой точки из $U$ интегрируется в квадратурах.
При $Dim({D^{(s)}}g^n)=1$ - это теорема Ли.
Доказательство можно провести, используя "утверждение", которое выше было доказано и уже применялось.

[scwec]

Обобщение теоремы С.Ли для $n=3$
Пусть $g^3$ - вещественная алгебра Ли гладких линейно независимых векторных полей, заданных в области $U\subset\mathbb{R}^3$ и существует одномерный идеал в $g^3$. Тогда все поля из $g^3$ в некоторой односвязной окрестности любой точки из $U$ интегрируются в квадратурах. (По Софусу Ли интегрируется в квадратурах только поле из одномерного идеала).

[scwec]

Алгебра Ли $g^3$,конечно, разрешима.